§ 98. Излучение мягких фотонов при столкновениях

Пусть — сечение некоторого процесса рассеяния заряженных частиц, который может сопровождаться излучением определенного числа фотонов. Наряду с этим процессом рассмотрим также и другой процесс, отличающийся от первого лишь испусканием одного дополнительного фотона. Если частота со этого фотона достаточно мала (соответствующие условия будут сформулированы ниже), то сечение второго процесса простым образом связано с

Действительно, при малых со можно пренебречь обратным влиянием испускания этого кванта на процесс рассеяния. Другими словами, сечение может быть представлено в виде произведения двух независимых множителей: сечения и вероятности испускания одного фотона при столкновении. Испускание мягкого фотона — процесс квазиклассический; поэтому его вероятность совпадает с классически вычисленным числом испущенных при столкновении квантов, т. е. с классической интенсивностью (полной энергией) излучения деленной на Таким образом,

Покажем, как эта формула может быть получена по общим правилам диаграммной техники (J. М. Jauch, F. Rohrlich, 1954).

Диаграммы процесса с дополнительным фотоном получаются из диаграмм основного процесса путем добавления внешней фотонной линии, «ответвляющейся» от какой-либо (внешней или внутренней) электронной линии, т. е. путем замены

Легко видеть, что основную роль будут играть диаграммы, получающиеся такой заменой во внешних электронных линиях.

Действительно, если — импульс внешней линии то при малых k будет также и , т. е. добавляющийся в диаграмме множитель будет находиться вблизи своего полюса.

Для линии начального электрона замена (98,2) сводится к замене в амплитуде реакции:

Заметив, что

получим правило замены в виде

Аналогичным образом для линии конечного электрона замена на диаграмме

означает замену в амплитуде:

Во всех остальных частях диаграммы можно вообще пренебречь изменениями импульсов линий, связанными с испусканием фотона k. При этом подразумевается, что энергия фотона во всяком случае мала по сравнению с энергиями всех частиц, участвующих в реакции (в том числе по сравнению с энергиями излучаемых жестких фотонов, если таковые имеются).

Пусть для определенности сечение относится к рассеянию электрона на неподвижном ядре (с возможным излучением жестких фотонов). Амплитуда этого процесса, который мы условно назовем упругим, имеет вид

Произведя в ней один раз замену (98,3), а другой раз (98,4) и сложив результаты, получим амплитуду тормозного излучения тех же жестких фотонов и мягкого фотона :

Соответственно сечение

Просуммировав по поляризациям фотона получим

Выраженная через трехмерные величины, эта формула имеет вид

где — начальная и конечная скорости электрона. Мы видим, что выражение, стоящее перед действительно совпадает с (деленной на ) классической интенсивностью излучения (ср. II (69,4)), как и утверждалось в формуле (98,1).

Условие применимости полученных формул требует также, помимо малости по сравнению с , чтобы передача импульса ядру q была велика по сравнению с изменением этой величины, связанной с испусканием мягкого фотона. Имеем

причем

. В нерелятивистском случае получаем поэтому условие

При рассеянии на кулоновом (и вообще на медленно спадающем с расстоянием) потенциале ( — прицельное расстояние), так что это условие можно представить и в виде , где — характерное время столкновения.

В ультрарелятивистском случае фотоны излучаются в основном в направлениях вблизи v или v' (как это видно из знаменателей в (98,8)). Если угол рассеяния электрона мал, то направления всех трех векторов близки друг к другу. Тогда

и поскольку мы получаем условие

(98,10)

Ввиду квазиклассического характера формул (98,5-8) они справедливы для излучения любыми заряженными частицами (не обязательно электронами, для которых был проведен вывод). В общем случае, когда в реакции участвует несколько таких частиц, формула (98,5) должна быть записана в виде

(98,11)

где суммирование производится по всем частицам (с зарядами ); соответствующим образом меняются и формулы (98,6-8).

В частности, в нерелятивистском случае

(98,12)

Для двух частиц эта формула принимает вид

где — относительная скорость частиц до и после столкновения. Интегрируя квадрат по направлениям вылета фотона и суммируя по направлениям его поляризации, получим отсюда нерелятивистское спектральное распределение излучения в виде

Полученные результаты обобщаются на случай одновременного излучения нескольких мягких фотонов. Для каждого из фотонов в амплитуду добавляется свой множитель того вида, который стоит при в (98,5). В этом легко убедиться непосредственно, скажем, на примере двух фотонов. Линии обоих испускаемых фотонов должны добавляться на внешних электронных линиях, причем в двух различных последовательностях, т. е. диаграмма с внешней линией заменяется двумя диаграммами с линиями

Каждая из них содержит множитель (знаменатели электронных пропагаторов)

Их сумма равна

т. е. содержит произведение двух независимых множителей, отвечающих первому и второму фотону. После этого в сумме всех диаграмм члены собираются (в силу калибровочной инвариантности) в произведение разностей

Соответственно факторизации амплитуды разбивается на множители также и сечение процесса. Таким образом, мягкие фотоны испускаются независимо. Сечение процесса с испусканием мягких фотонов может быть представлено в виде

(98,14)

где — вероятности отдельного испускания фотонов При интегрировании этой формулы по конечному интервалу значений переменных (частот и направлений), одинаковому для всех квантов, должен быть введен множитель учитывающий тождественность фотонов.

Если проинтегрировать сечение излучения (98,1) по частотам в некотором конечном интервале от до то мы получим выражение вида

(98,15)

(ср. (98,8)). При этом подразумевается, что обе частоты мягкие, так что возможные значения ограничены условием применимости метода. С логарифмической точностью, однако, можно положить , где — начальная энергия излучающей частицы. Значения же вообще ничем не ограничены снизу. Но устремив к нулю, мы увидим, что сечение излучения всех возможных мягких квантов обращается в бесконечность. Выясним смысл этой ситуации — так называемой инфракрасной катастрофы (F. Bloch, A. Nordsieck, 1937).

(98,16)

будет . Но это означает неприменимость теории возмущений — невозможность вычислять как величину более высокого порядка малости, чем

Другими словами, параметром малости должно считаться в данном случае не а, а произведение а

Таким образом, вывод формул на основе теории возмущений оказывается неверным при достаточно малых частотах. С другой стороны, классическая формула для интенсивности dI (II (69,4)) применима в тем большей степени, чем меньше Поэтому формула (98,1) останется правильной, если несколько видоизменить ее смысл в сторону большей классичности. Именно, в (98,1) подразумевалось, что излучается один фотон; тогда теряемая частицей на излучение энергия совпадает с и «сечение относительной потери энергии» дается выражением или

(98,17)

В действительности же при достаточно малых вероятность излучения не мала, а вероятность излучения двух и более фотонов не меньше, а больше вероятности излучения одного фотона. В этих условиях выражение (98,17) останется справедливым, но классическая интенсивность будет определять не вероятность излучения одного фотона, а среднее число излученных фотонов

(98,18)

или, в конечном интервале частот,

Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо (это справедливо во всех приближениях теории возмущений), к процессу множественного излучения можно применить формулу Пуассона: вероятность излучения фотонов выражается через среднее число формулой

(98,20)

Представим сечение процесса рассеяния с излучением фотонов в виде

(98,21)

Поскольку то представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Это обстоятельство очевидно из классического рассмотрения; по теории же возмущений есть сечение чисто упругого рассеяния.

Но теория возмущений здесь неприменима. Получается так, что , вычисленное по теории возмущений как сечение упругого рассеяния, в действительности учитывает излучение любых мягких фотонов. Что же касается сечения чисто упругого рассеяния, то оно в действительности равно нулю: при среднее число и согласно (98,20) обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов.

Задачи

1. Найти спектральное распределение тормозного излучения мягких фотонов при рассеянии ультрарелятивистского электрона на ядре.

Решение. Интегрирование формулы (98,8) по дает

где

(р — импульс, — угол рассеяния электрона). В ультрарелятивистском случае основную роль играет область углов

(нижняя граница — условие (98,10), о верхней границе см. ниже). При этом так что

а сечение упругого рассеяния электрона на ядре (см. (80,10))

Интеграл

логарифмнчески расходится; он обрезается снизу на углах а сверху — при т. е. на углах

так что интеграл сходится). Таким образом, с логарифмической точностью находим

— в согласии с логарифмической частью формулы (93,17) (в которой надо положить ).

Достичь нелогарифмической точности можно, лишь выйдя за пределы квазиклассической области.

2. Для столкновения двух ультрарелятивистских электронов определить (в системе центра инерции) сечение одновременного испускания двух мягких фотонов в противоположных направлениях под малыми углами к импульсам, электронов.

Решение. Фотоны, летящие в противоположных направлениях, испускаются различными электронами, каждым в направлении своего движения. Сечение одновременного излучения

где — энергия каждого из электронов, — угол рассеяния в системе центра инерции, одинаковый для обоих электронов (поскольку фотоны испускаются заведомо в различных направлениях, вводить в сечение множитель не надо). Сечение упругого рассеяния электронов на малые углы в системе центра инерции в ультрарелятивистском случае совпадает с (4) (ср. (81,11)). В отличие от (1) сечение (6) ведет себя при как в так что интеграл сходится. С одной стороны, это обстоятельство позволяет проводить интегрирование до (не заботясь о возможном нарушении условия применимости метода). С другой стороны, основной вклад в интегральное сечение дает - теперь область (а не ), так что надо пользоваться точным выражением (2). Результат интегрирования сечения по углам рассеяния:

— функция Римана;