§ 62. Естественная ширина спектральных линий

До сих пор при изучении испускания и рассеяния света мы рассматривали все уровни системы (скажем, атома) как строго дискретные. Между тем возбужденные уровни, имея вероятность высветиться, обладают конечным временем жизни. Согласно общим принципам квантовой механики это приводит к тому, что уровни становятся квазидискретными, приобретая конечную (малую) ширину (см. III, § 134); они записываются в виде где — полная вероятность (в 1 с) всех возможных процессов «распада» данного состояния.

Рассмотрим вопрос о том, каким образом это обстоятельство сказывается на процессе излучения (V. Weisskopf, Е. Wigner, 1930). Заранее ясно, что ввиду конечности ширины уровня испущенный свет окажется не строго монохроматическим: частоты будут разбросаны в интервале При этом в силу конечности времени жизни начального состояния излучающей системы более естественной является постановка задачи о нахождении полной вероятности испускания фотона данной частоты, а не о вероятности в единицу времени.

Вычислим эту вероятность прежде всего для случая перехода атома с некоторого возбужденного уровня

на основной уровень обладающий бесконечным временем жизни и потому строго дискретный.

Пусть — волновая функция атома и фотонного поля, — гамильтониан этой системы, причем V — оператор взаимодействия атома и фотонного поля. Будем искать решение уравнения Шредингера

в виде разложения по волновым функциям вевозмущенных состояний системы

Для коэффициентов получим систему уравнений

Пусть — состояние с энергией , в котором атом находится на основном уровне и имеется один квант с определенной частотой ; обозначим это состояние символом . В начальный момент времени система находится в состоянии 11), в котором атом возбужден на уровне а фотоны отсутствуют. Другими словами, при должно быть

Найденное с этим начальным условием решение уравнения (62,3) даст (при надлежащей нормировке волновых функций) вероятность к моменту t перехода атома с испусканием фотона в интервале частот :

Нас будет интересовать вероятность при :

Для лучшего понимания постановки вопроса напомним, что при нахождении обычной вероятности излучения (в 1 с) с переходом (без учета ширины уровня) уравнение (62,3) надо решать, заменив в первом приближении в его правой стороне все значениями (62,4).

Полученное решение рассматривается затем при больших t (ср. III, § 42). Мы можем теперь уточнить смысл этой процедуры: она относится ко временам, малым по сравнению с продолжительностью жизни возбужденного уровня; большие t означают при этом времена, большие по сравнению с периодом но все же малые по сравнению с

В нашем же случае, когда рассматриваются времена, сравнимые с функция убывает со временем по закону

Функции же для состояний которые могут возникнуть при высвечивании атома, со временем возрастают. Если высвечивание с данного уровня возможно на различные (помимо ) уровни атома, то будет много возрастающих функций каждая из них отвечает состоянию, в котором атом находится на одном из своих уровней и имеется один фотон соответствующей энергии. Тем не менее в правой стороне уравнения (62,3) по-прежнему останется всего один член — для Действительно, поскольку матричные элементы могут быть отличны от нуля лишь для переходов с изменением на 1 числа фотонов какой-либо одной энергии, они заведомо равны нулю для переходов между состояниями, содержащими по одному фотону различных энергий.

Таким образом, имеем для уравнение

где Интегрируя с условием находим

Отсюда вероятность (62,5):

Поскольку ширина в множителе можно положить Тогда величина есть обычная вероятность излучения (в 1 с) фотона, обладающего частотой со , а также другими (кроме частоты) характеристиками (направление движения, поляризация), от существования которых мы до сих пор для упрощения отвлекались. Отметим, что зависимость вероятности от этих характеристик полностью определяется множителем

Другими словами, учет ширины уровня не меняет поляризационных свойств и углового распределения излучения.

Сумма

взятая по поляризациям и направлениям движения фотона, есть полная обычная вероятность излучения. Это есть в то же время та часть ширины уровня (парциальная ширина), которая связана с переходом 1 —2, в отличие от полной ширины составленной из вкладов от всех возможных способов «распада» данного квазистационарного состояния

Произведя такое же суммирование вероятности получим следующую окончательную формулу для частотного распределения испускаемого света:

(62,10)

— полная относительная вероятность перехода Это — распределение дисперсионного вида. Форма спектральной линии, описываемая формулой (62,10), свойственна изолированному неподвижному атому; ее называют естественной 2).

Пусть теперь уровень атома — тоже возбужденный, с конечной шириной Для простоты будем предполагать, что эта ширина связана с переходом атома в основное состояние с испусканием одного фотона (окончательный ответ — формула (62,12) от этого предположения не зависит). Тогда процесс распада состояния 1 можно рассматривать как процесс излучения двух фотонов, изучавшийся в § 59. Матричный элемент этого процесса — пока без учета конечности времени жизни состояния 2 — дается формулой

(62,11)

(в формуле (59,2) изменено обозначение состояния а в сумме по оставлен лишь тот из членов, отвечающих нахождению атома в состоянии 2, который резонансно велик при значении близком к

Если теперь учесть конечное время жизни состояния 2, то это приведет в (62,11) только к замене так что

Подставив это значение матричного элемента в уравнение для (отличающееся лишь обозначениями от (62,7)), получим после вывода, вполне аналогичного выводу (62,8) :

Вероятность испускания фотонов и со равна

Как и должно было быть, это выражение имеет резкие максимумы при

Искомая форма спектральной линии, отвечающей переходу получится интегрированием (62,12) по (которое может быть распространено на всю область от до ). Интеграл вычисляется проще всего путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной со и определяется суммой вычетов подынтегрального выражения в полюсах

В результате получим

(62,13)

где полная вероятность двойного перехода

Форма линии (62,13) отличается от (62,10) лишь заменой на — ширина линии равна сумме ширин начального и конечного состояний.

Отметим, что ширина линии оказывается, вообще говоря, не равной вероятности самого перехода т. е. не пропорциональной интенсивности линии (как это было бы в классической теории). Поскольку линия может иметь большую ширину при сравнительно малой интенсивности.