ГЛАВА XIV. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ

§ 138. Электромагнитные формфакторы адронов

До сих пор в этой книге речь шла о квантовой электродинамике частиц, не способных к сильным взаимодействиям, — электронов, позитронов и мюонов. Существует также большое число частиц, участвующих в сильных взаимодействиях; их называют адронами. Адронами являются, например, протоны и нейтроны, имеющие спин -мезоны со спином 0 и другие частицы. Адронами, разумеется, являются и атомные ядра, так как они состоят из протонов и нейтронов.

Построение исчерпывающей электродинамики адронов в рамках существующей теории невозможно. Ясно, что нельзя составить уравнений, определяющих электромагнитные взаимодействия адронов без учета значительно более интенсивных сильных взаимодействий. В частности, без учета последних нельзя установить и явный вид адронного тока, с помощью которого должны описываться взаимодействия в квантовой электродинамике. В этой ситуации адронный ток вводится как феноменологическая величина, структура которой устанавливается лишь исходя из общих кинематических требований, не связанных с какими-либо предположениями о динамике взаимодействий. Оператор же электромагнитного взаимодействия будет иметь по-прежнему вид

(138,1)

где теперь ток обозначен прописной буквой (в отличие от электронного тока ). Поскольку порядок величины этого взаимодействия задается тем же элементарным зарядом , можно по-прежнему пользоваться методами теории возмущений.

Установим вид тока перехода между двумя состояниями свободно движущегося адрона (не сопровождающегося каким-либо превращением самого адрона).

Этот ток входит в «треххвостку»

(138,2)

которая сама может входить как часть в какую-либо более сложную диаграмму (например, упругого рассеяния электрона на адроне). Пунктирная линия в диаграмме (138,2) изображает виртуальный фотон; она не может отвечать реальному фотону, так как свободная частица не может поглотить (или испустить) такой фотон. При этом

Рассмотрим сначала адрон со спином 0. Пусть — волновые амплитуды начального и конечного состояний адрона, в которых он имеет 4-импульсы для Частицы со спином 0 эти амплитуды — скаляры (или псевдоскаляры). Адронный ток перехода между этими двумя состояниями должен быть билинеен по Запишем его в виде

(138,3)

где 4-вектор Г — неизвестный вершинный оператор (кружок на диаграмме ). Если положить , то будет просто

Универсальным свойством тока в электродинамике, связанным с калибровочной инвариантностью теории, является его сохранение. В импульсном представлении оно выражается ортогональностью тока перехода 4-импульсу фотона

(138,4)

В данном случае это значит, что оператор Г должен иметь вид

(138,5)

где — скалярная функция единственной инвариантной независимой переменной — квадрата Поскольку род адрона при переходе не меняется, то (М — масса адрона), и потому

Матричные элементы (138,3) с Г из (138,5) (а с ними и сам оператор -истинные 4-векторы. Поэтому оператор взаимодействия (138,1) — истинный скаляр. Таким образом, электромагнитное взаимодействие адронов со спином 0 оказывается Р-инвариантным автоматически. Оно оказывается также и Т-инвариантным. Действительно, обращение времени, во-первых, переставляет начальный и конечный 4-импульсы; при этом сумма не меняется. Во-вторых, обращение времени меняет знак пространственных компонент 4-импульсов, не меняя их временных компонент; но таким же образом преобразуются и компоненты 4-потенциала А, так что произведение не меняется.

Инвариантную функцию называют электромагнитным формфактором адрона. В рамках феноменологической теории ее вид, разумеется, не может быть установлен. Можно, однако, утверждать, что эта функция вещественна (в рассматриваемой области Это следует из тех же соображений, которые были применены в § 116 к формфакторам электрона: при во всяком случае отсутствуют промежуточные состояния, которые могли бы фигурировать в правой стороне соотношения унитарности; поэтому матрица а с нею и оказываются эрмитовыми.

При начальное и конечное состояния совпадают, так что становится диагональным матричным элементом. В частности, есть плотность заряда, совпадающая (нормировка на одну частицу в единичном объеме!) с полным зарядом частицы

Для электрически нейтральной частицы Подчеркнем, однако, что это отнюдь не означает еще истинной нейтральности частицы. Если частица истинно нейтральна и обладает определенной зарядовой четностью, то при всех так как оператор тока зарядово-нечетен (см. § 13), его матричные элементы между двумя состояниями одного и того же адрона равны нулю.

Перейдем к адронам со спином . В этом случае волновые амплитуды — биспиноры и адронный ток имеет вид

(138,6)

Из билинейных комбинаций и -векторов можно составить как истинные 4-векторные, так и псевдовекторные величины (удовлетворяющие условию (138,4)). Поэтому условие -инвариантности взаимодействия не удовлетворяется автоматически и должно быть поставлено дополнительно. Как было показано в § 116, при этом условии вершинный оператор содержит два независимых вещественных (при формфактора. Запишем его теперь в виде

(138,7)

где — инвариантные формфакторы (М — масса адрона); в эквивалентности трех написанных выражений легко убедиться с помощью равенств и (116,5).

Электромагнитные формфакторы относятся к категории инвариантных амплитуд, понятие о которых было введено в § 70. Их можно рассматривать как амплитуды «реакции», представляющей собой (в своем аннигиляционном канале) распад виртуального фотона на адрон и антиадрон. Виртуальный фотон — «частица» со спином 1. В том, что ее распад на две частицы со спином должен описываться двумя независимыми амплитудами, легко убедиться и подсчетом соответствующих спиральных амплитуд (см. § 69). Действительно, в силу Р-инвариантности четыре отличных от нуля элемента S-матрицы попарно равны друг другу:

Требование Г-инвариантности (или С-инвариантности — в аннигиляционном канале) не добавляет новых связей между этими элементами.

С этим обстоятельством связан тот факт, что взаимодействие, описываемое вершинным оператором (138,7), автоматически оказывается также и Г-инвариантным (такая ситуация, однако, не имеет уже места для частиц с более высокими спинами).

При члены нулевого и первого (по а) порядка в (138,7):

(138,8)

Отсюда видно (см. § 116), что электрический заряд частицы (в единицах ), аномальный магнитный момент (в единицах ).

До сих пор мы пользовались только формфакторами в импульсном пространстве. Этого, разумеется, достаточно для описания наблюдаемых явлений. С чисто иллюстративной целью, однако, можно дать формфакторам и несколько более наглядную интерпретацию, рассматривая их как фурье-образы некоторых функций от координат.

Для этого удобно выбрать систему отсчета, в которой (так называемая система Брейта); это всегда возможно, поскольку . В этой системе так что а составляющие 4-вектора q равны

Для адрона со спином 0 ток перехода принимает в системе Брейта особенно простую форму:

Отсюда видно, что можно истолковать как фурье-образ статического распределения зарядов с плотностью

(138,9)

В этом смысле говорят о пространственной электромагнитной структуре частицы: при F = const было бы зависимость же формфактора от q интерпретируется как отклонение распределения заряда от точечного. Подчеркнем, однако, что этой интерпретации не следует придавать буквального смысла. Функция вообще не относится к какой-либо определенной системе отсчета, так как каждому значению q отвечает своя система:

Лишь в нерелятивистском пределе малых когда изменением энергии частицы при рассеянии можно пренебречь, система Брейта совпадает с системой покоя частицы и не зависит от q.

Начальные и конечные состояния частицы в этом приближении одинаковы, так что ток перехода становится диагональным матричным элементом и функция приобретает реальный смысл пространственного распределения зарядов. Для элементарных частиц, однако, характерные значения на которых существенно меняются формфакторы, лишь немногим меньше М. Поэтому в нерелятивистском пределе для них можно вообще заменить на т. е. рассматривать частицу как точечную. Иная ситуация для ядер. Масса ядра М пропорциональна числу А нуклонов в нем, а характерное значение т. е. пропорционально — радиус ядра). Поэтому для достаточно тяжелых ядер характерные и, таким образом, нерелятивистское рассмотрение допустимо во всем существенном интервале; тем самым понятие электромагнитной структуры ядра приобретает вполне определенный смысл.

Для частицы со спином 1/2 из (138,7) ролучим в системе Брейта

(138,10)

где — трехмерный оператор (матрица) спина (21,21), а в (138,10) использовано равенство которое легко проверить с помощью уравнений Дирака для при

Временная компонента тока перехода (138,10) отличается от выражения для «точечной частицы» — электрона множителем Поэтому можно сказать, что формфактор (его называют зарядовым) описывает «пространственное распределение заряда» согласно (138,9).

Аналогичным образом трехмерному вектору (138,11) можно привести в соответствие «пространственное распределение» плотности токов где

представляет собой «плотность магнитного момента». Таким образом, формфактор (его называют магнитным) можно интерпретировать как плотность пространственного распределения магнитного момента — разумеется, с теми же оговорками, которые были сделаны выше по поводу распределения заряда. При этом включает в себя как «нормальный» дираковский магнитный момент, так и специфический для адрона «аномальный» момент; «плотности» последнего отвечает разность

Естественно считать, что особые точки адронных электромагнитных формфакторов, как и электронных, лежат при вещественных положительных значениях аргумента Это позволяет сделать определенные заключения об асимптотическом поведении распределения при Именно, такое же преобразование интеграла (138,9), которое было применено в § 114 для перехода от (114,3) к (114,4), приведет к результату, что при больших будет где — абсцисса первой особой точки формфактора также примеч. на с. 567). Если ближайшая особенность дается порогом образования виртуальным фотоном пары адронов (массы каждый), то .