§ 14. Волновое уравнение для частицы со спином 1

Частица со спином 1 описывается в ее системе покоя трехкомпонентной волновой функцией — трехмерным вектором (о такой частице часто говорят как о векторной). По своему четырехмерному происхождению это могут быть три пространственные компоненты 4-вектора (пространственноподобного) или же смешанные компоненты антисимметричного 4-тензора второго ранга , у которых в системе покоя обращается в нуль временная и пространственные компоненты.

Волновое уравнение — дифференциальная связь между величинами — устанавливается соотношениями, которые мы запишем в виде

где (А. Ргоса, 1936).

Применив к обеим сторонам уравнения (14,2) операцию , получим (ввиду антисимметричности )

Из (14,1-2) можно исключить , подставив первое уравнение во второе. Учитывая (14,3), получаем

откуда снова (ср. § 10) видно, что — масса частицы. Таким образом, свободную частицу со спином 1 можно описывать всего одним 4-вектором компоненты которого удовлетворяют уравнению второго порядка (14,4), а также и дополнительному условию (14,3), исключающему из часть, принадлежащую спину 0.

В системе покоя, где не зависит от пространственных координат, найдем, что — 0. Поскольку в то же время , мы видим, что в системе покоя как и должно быть. Вместе с обращаются в нуль также и

Частица со спином 1 может обладать различной внутренней четностью — в зависимости от того, является ли истинным вектором или псевдовектором. В первом случае

а во втором

Уравнения (14,1-2) могут быть получены из вариационного принципа с лагранжианом:

Роль независимых обобщенных координат играют в нем

Для нахождения тензора энергии импульса формула (10,11) в данном случае не вполне удобна, так как она привела бы к несимметричному тензору, который нуждался бы еще в дополнительной симметризации. Вместо этого можно воспользоваться формулой

в которой предполагается, что L выражено в виде, относящемся к произвольным криволинейным координатам (см. II, § 94).

Если L содержит только компоненты самого метрического тензора g (но не их производные по координатам), то формула упрощается:

(напомним, что ).

Поскольку дифференцирование в формуле (14,6) производится не по величинам при ее применении необязательно считать эти величины независимыми; можно сразу воспользоваться связью (14,1) и переписать лагранжиан (14,5) в виде

Тогда

В частности, плотность энергии дается существенно положительным выражением

(14,9)

Сохраняющийся 4-вектор плотности тока дается выражением

Его можно найти согласно формуле (12,12) дифференцированием лагранжиана (14,5) по производным частности,

и не является существенно положительной величиной.

Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме

(14,12)

где — единичный 4-вектор поляризации, удовлетворяющий (в силу (14.3)) условию четырехмерной поперечности

(14,13)

Действительно, подставив функцию (14,12) в (14,9) и (14,11), получим

В противоположность фотону векторная частица с ненулевой массой имеет три независимых направления поляризации. Соответствующие им амплитуды см. (16,21).

Поляризационная матрица плотности для частично поляризованных векторных частиц определяется таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведению

(аналогично выражению (8,7) для фотонов). Согласно (14,12-13) она удовлетворяет условиям

(14,14)

Для неполяризованных частиц матрица должна иметь вид Определив коэффициенты а и b из (14,14), найдем в результате

Квантование поля векторных частиц производится аналогично скалярному случаю, и нет необходимости повторять заново все рассуждения, -операторы векторного поля имеют вид

(14,16)

где индекс а нумерует три независимые поляризации.

- Положительная определенность выражения (14,9) для и неопределенность (14,11) приводят, как и в скалярном случае, к необходимости квантования по Бозе.

Существует тесная связь между свойствами истинно нейтрального векторного и электромагнитного полей. Нейтральное векторное поле описывается эрмитовым оператором:

Лагранжиан этого поля

Электромагнитному полю отвечает случай При этом 4-вектор становится 4-потенциалом а 4-тензор — тензором поля связанным с потенциалом определением (14,1). Уравнение (14,2) превращается в , что соответствует второй паре уравнений Максвелла.

Из него уже не следует условие (14,3), которое, таким образом, перестает быть обязательным. Ввиду отсутствия дополнительного условия нет необходимости рассматривать в лагранжиане и как независимые «координаты», и лагранжиан (14,18) сводится к

в согласии с известным классическим выражением лагранжиана электромагнитного поля. Этот лагранжиан, вместе с тензором инвариантен по отношению к произвольному калибровочному преобразованию «потенциалов» Ясно видна связь этого обстоятельства с нулевой массой: лагранжиан (14,18) не обладает этим свойством благодаря члену .