§ 24. Сферические волны

Волновые функции состояний свободной частицы (со спином ) с определенными значениями j момента представляют собой спинорные сферические волны. Определим их вид, для чего напомним предварительно аналогичные формулы нерелятивистской теории.

Нерелятивистская волновая функция есть -спинор

Для состояния с определенными значениями энергии (а с нею и величины импульса ), орбитального момента полного момента и его проекции волновая функция имеет вид

Ее угловая часть — трехмерные спиноры, компоненты которых (для двух значений возможных при данном I) даются формулами

(см. III, § 106, задача). Будем называть шаровыми спинорами. Они нормированы условием

Радиальные же функции представляют собой общий множитель в обеих компонентах спинора и даются формулой

Они нормированы условием

Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде всего, что для движущейся частицы не существует раздельных законов сохранения спина и орбитального момента: операторы s и 1 каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом. По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) четность состояния. Поэтому квантовое число теряет смысл указания на определенное значение орбитального момента, но им определяется (см. ниже) четность состояния.

Условимся рассматривать искомую волновую функцию (биспинор) в стандартном представлении: По отношению к вращениям ведут себя как 3-спиноры. Поэтому их угловая зависимость дается теми же шаровыми спинорами Пусть где одно (определенное) из двух значений: или При инверсии (см. (21,18)), и поскольку , то

Составляющие же ведут себя при инверсии согласно Для того чтобы состояние обладало определенной четностью (т. е. чтобы при инверсии все компоненты умножались на один и тот же множитель), необходимо, следовательно, чтобы угловая зависимость давалась шаровым спинором с другим (из двух возможных) значением I: поскольку эти значения различаются на 1, то

Далее, радиальная зависимость будет определяться теми же функциями (со значениями и , отвечающими порядку входящих в шаровых функций). Это ясно из того, что каждая из компонент удовлетворяет уравнению второго порядка которое при заданном значении имеет вид

формально совпадающий с нерелятивистским уравнением Шредингера для свободной частицы,

Таким образом,

(24,6)

и остается определить постоянные коэффициенты А и В. Для этого исследуем удаленную область, в которой сферическую волну можно рассматривать как плоскую. Согласно асимптотической формуле III (33,12)

так что представляет собой разность двух плоских волн, распространяющихся в направлениях Для каждой из них имеем согласно (23,8)

Из сказанного выше (формулы (24,6)) ясно, что где а — постоянная. Эту постоянную легко определить, сравнив значения обеих сторон равенства при и направлении вдоль оси z. Использовав (7,2а), найдем

Собрав написанные формулы и сравнив с (24,6), получим

Наконец, коэффициент А определяется общей нормировкой Нормируя условием

находим окончательно

Таким образом, при заданных значениях (и энергии ) существует два состояния, различающихся своей четностью. Последняя однозначно определяется числом I, принимающим значения при инверсии биспинор (24,10) умножается на Компоненты этого биспинора, однако, содержат шаровые функции обоих порядков в чем выражается отсутствие определенного значения орбитального момента.

При в каждом небольшом участке пространства сферические волны (24,7) можно рассматривать как плоские с импульсом

Поэтому ясно, что волновые функции в импульсном представлении отличаются от (24,10) в основном лишь отсутствием радиальных множителей и приданием смысла направления импульса.

Для прямого перехода к импульсному представлению надо произвести разложение Фурье:

Интеграл вычисляется с помощью формулы разложения плоской волны по сферическим (см. III (34,3)):

Представляя множитель в (24,11) в виде такого разложения и учитывая (24,5), для компонент Фурье функции

получаем

Стоящий здесь интеграл равен коэффициентам при шаровых функциях в определении шаровых спиноров (24,2), а вместе с множителем снова образует тот же шаровой спинор, но уже от аргумента

Применив этот результат к биспинорной волновой функции получим ее импульсное представление

(24,13)

Состояния совпадают с рассмотренными в § 16 состояниями те и другие обладают определенными значениями и четности. Поэтому шаровые спиноры выражаются через функции (те и другие от аргумента ). При волновые функции (24,13) сводятся к 3-спинорам , четность которых — «внутренняя четность» спинора). Сравнение с результатами § 16 приводит к следующей формуле:

(24,14)