§ 68. Разложение по парциальным амплитудам

Существенным этапом в анализе реакции вида

является разложение амплитуды рассеяния по парциальным амплитудам, каждая из которых отвечает (при заданной полной энергии ) определенному значению полного момента частиц в системе их центра инерции

Эти парциальные амплитуды представляют собой, другими словами, элементы -матрицы в моментном представлении:

Поскольку момент J и его проекция М на заданную ось z сохраняются, -матрица диагональна по этим числам (как и по энергии ). При этом в силу изотропии пространства диагональные элементы не зависят от значения М. При заданных J, М, в матрица рассеяния остается еще матрицей по отношению к спиновым квантовым числам; элементы этой матрицы мы будем записывать более коротко в виде

где — совокупности спиновых квантовых чисел. В качестве последних наиболее естественно воспользоваться здесь спиральностями частиц. Напомним, что спиральность (в отличие от проекции спина на произвольную ось в пространстве) сохраняется для свободной частицы, а также что она коммутирует как с импульсом, так и с моментом частицы (§ 16). Поэтому спиральностями можно пользоваться как в импульсном, так и в моментном представлениях матрицы рассеяния.

Элементы -матрицы по индексам спиральностей мы будем называть спиральными амплитудами рассеяния и, таким образом, будем подразумевать под совокупности спиральностей начальных и конечных частиц:

В импульсном представлении элементы матрицы рассеяния определяются по отношению к состояниям — направление импульса относительного движения в системе центра инерции), а в моментном — по отношению к состояниям

Они выражаются друг через друга в виде разложений

где интегрирование производится по направлениям (энергию в символах состояний будем для краткости опускать). В силу унитарности этого преобразования (см. III, § 12) коэффициенты обратного преобразования

По общему правилу преобразования матриц эти же коэффициенты определят связь между элементами -матриц в обоих представлениях:

Коэффициенты разложения (68,3) легко найти с помощью результатов § 16.

Пусть волновые функции всех состояний выражены в импульсном представлении, т. е. как функции направления импульса (при заданной энергии); это направление как независимую переменную обозначим v в отличие от направления как квантового числа состояния. В этом представлении волновая функция имеет вид (16,2)

При подстановке (68,6) в разложение (68,3) последнее сводится к одному члену:

Спиральность каждой из двух частиц определяется как проекция ее спина на направление ее же импульса. Если импульсы частиц то для первой частицы это — направление , а для второй — направление . Если рассматривать теперь систему как одну частицу со спиральностью А в направлении , то Ее волновая функция (в импульсном представлении) может быть представлена согласно (16,4) в виде

Сравнив выражения (68,7-8) (и изменив обозначение переменной v на ), получим для искомых коэффициентов

Подстановка этих коэффициентов в (68,5) дает

(68,10)

где использовано сокращенное обозначение (68,2). Выберем направление в качестве оси тогда

и (68,10) принимает вид

(68,11)

Мы видим, что разложение по парциальным амплитудам осуществляется с функциями в качестве коэффициентов. Для реакции вида (68,1) удобно определить амплитуду рассеяния f таким образом, чтобы сечение (в системе центра инерции) было

(68,12)

(сравнением с (64,19) можно связать эту амплитуду с матричным элементом Ее разложение по парциальным амплитудам напишем в виде

(68,13)

или, выбирая ось z вдоль направления :

(68,14)

Эта формула представляет собой обобщение обычного разложения по парциальным амплитудам для рассеяния бесспиновых частиц (см. III (123,14)). Поскольку при равных нулю спинах (68,14) сводится к разложению по полиномам Лежандра

Сечение (68,12) относится к случаю, когда все частицы имеют определенные спиральности. Если же частицы находятся в смешанных поляризационных состояниях, то сечение получается путем усреднения произведения

по поляризационным матрицам плотности частиц

(см. примеч. на с. 205). Так, для реакции между неполяризованными частицами а, b с образованием неполяризованных же частиц с, d получим

(68,15)

(ось z направлена по n, знак ) означает суммирование по Заменив функцию согласно III (58,19) и затем воспользовавшись разложением III (110,2), получим окончательно

( — угол между и осью z); суммирование по L производится по всем целым значениям, возникающим при векторном сложении J и

Разложение амплитуды рассеяния по парциальным амплитудам полностью учитывает все свойства углового распределения рассеяния, связанные с симметрией по отношению к пространственным вращениям. Оно, однако, не учитывает в явном виде свойства, связанные с симметрией по отношению к пространственной инверсии. Р-инвариантность (если взаимодействие обладает ею) приводит к определенным связям между различными спиральными амплитудами (см. ниже, § 69).