§ 6. Момент и четность фотона

Как и всякая частица, фотон может обладать определенным моментом импульса. Для выяснения свойств этой величины у фотона предварительно напомним, каким образом связаны в математическом аппарате квантовой механики свойства волновой функции частицы с ее моментом.

Момент частицы j складывается из ее орбитального момента I и собственного момента — спина s. Волновая функция частицы со спином s есть симметричный спинор ранга 2s, т. е. представляет собой совокупность 2s + 1 компонент, которые при поворотах системы координат преобразуются друг через друга по определенному закону. Орбитальный же момент связан с координатной зависимостью волновых функций: состояниям с орбитальным моментом I соответствуют волновые функции, компоненты которых выражаются (линейно) через шаровые функции порядка

Возможность последовательным образом различать спин и орбитальный момент требует, следовательно, независимости «спиновых» и «координатных» свойств волновых функций: координатная зависимость компонент спинора (в заданный момент времени) не должна ограничиваться никакими дополнительными условиями.

В импульсном представлении волновых функций координатной зависимости отвечает зависимость от импульса к. Волновой функцией фотона (в трехмерно поперечной калибровке) является вектор . Вектор эквивалентен спинору второго ранга, и в этом смысле можно было бы приписать фотону спин 1. Но эта векторная волновая функция подчинена условно поперечности, , представляющему собой дополнительное условие, налагаемое на импульсную зависимость вектора А(k). В результате эта зависимость уже не может быть задана для всех компонент вектора одновременно произвольным образом, что и приводит к невозможности разделения орбитального момента и спина.

Отметим, что к фотону неприменимо также определение спина как момента покоящейся частицы, поскольку для фотона, движущегося со скоростью света, вообще не существует системы покоя.

Таким образом, для фотона можно говорить лишь о его полном моменте. При этом заранее ясно, что полный момент может пробегать лишь целочисленные значения. Это видно уже из того, что среди величин, характеризующих фотон, нет никаких спиноров нечетного ранга.

Как и для всякой частицы, состояние фотона характеризуется также своей четностью, связанной с поведением волновой функции при инверсии системы координат (см. IIII, § 30). В импульсном представлении изменению знака координат отвечает изменение знака всех компонент к. Воздействие оператора инверсии Р на скалярную функцию заключается только в этом изменении: .

При воздействии же на векторную функцию надо еще учесть, что изменение направления осей на обратное меняет также знак всех компонент вектора; поэтому

Хотя разделение момента фотона на орбитальный момент и спин лишено физического смысла, тем не менее удобно ввести «спин» s и «орбитальный момент» I формальным образом как вспомогательные понятия, выражающие свойства преобразования волновой функции по отношению к вращениям: значение отвечает векторности волновой функции, а значение есть порядок входящих в нее шаровых функций. Мы имеем при этом в виду волновые функции состояний с определенными значениями момента фотона, представляющие собой для свободной частицы сферические волны. Число I определяет, в частности, четность состояния фотона, равную

В таком же смысле можно представить оператор момента j как сумму s + 1. Оператор момента связан, как известно, с оператором бесконечно малого поворота системы координат; в данном случае — с действием этого оператора на векторное поле. В сумме s + 1 оператор s действует на векторный индекс, преобразуя друг через друга различные компоненты вектора. Оператор же 1 действует на эти компоненты как на функции импульса (или координат).

Подсчитаем число состояний (с заданной энергией), которые возможны при заданном значении j момента фотона (отвлекаясь при этом от тривиального -кратного вырождения по направлениям момента).

При независимых 1 и s такое вычисление осуществляется простым подсчетом числа способов, которыми можно по правилам векторной модели сложить моменты 1 и s так, чтобы получить нужное значение . Для частицы со спином s 1 мы нашли бы таким образом (при заданном отличном от нуля значении ) три состояния со следующими значениями и четности:

Если же то получается всего одно состояние (с с четностью

В этом подсчете, однако, не учтено условие поперечности вектора А; все три его компоненты рассматривались как независимые. Поэтому из полученного числа состояний надо еще вычесть число состояний, соответствующих продольному вектору. Такой вектор можно написать в виде откуда ясно, что по своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам его три компоненты эквивалентны всего одному скаляру Следовательно, можно сказать, что лишнее состояние, не совместимое с условием поперечности, соответствовало бы состоянию частицы со скалярной волновой функцией (спинор ранга 0), т. е. со «спином 0». Момент j этого состояния совпадает поэтому с порядком входящих в сферических функций. Четность же этого состояния как состояния фотона определяется действием оператора инверсии на векторную функцию

т. е. равна Таким образом, из полученного выше числа состояний с четностью (двух при и одного при ) надо вычесть одно.

Окончательно мы приходим к результату, что при отличном от нуля моменте фотона существуют одно четное и одно нечетное состояния. При мы не получим вовсе никаких состояний. Это означает, что фотон вообще не может иметь равного нулю момента, так что пробегает лишь значения Невозможность значения впрочем, очевидна: волновая функция состояния с равным нулю моментом должна быть сферически-симметрична, что заведомо невозможно для поперечной волны.

Принята определенная терминология для различных состояний фотона. Фотон в состоянии с моментом j и четностью называют электрическим -польным (или -фотоном), а при четности — магнитным -польным (или -фотоном).

Так, электрическому дипольному фотону отвечает нечетное состояние с электрическому квадрупольному — четное состояние с магнитному дипольному — четное состояние с