§ 16. Спиральные состояния частицы

В релятивистской теории орбитальный момент 1 и спин s движущейся частицы не сохраняются каждый в отдельности. Сохраняется лишь полный момент Не сохраняется поэтому и проекция спина на какое-либо заданное направление (ось ), и поэтому эта величина не может служить для перечисления поляризационных (спиновых) состояний движущейся частицы.

Сохраняется, однако, проекция спина на направление импульса: поскольку то произведение совпадает с сохраняющимся произведением Эту величину называют спиральностью (мы уже рассматривали ее для фотона в § 8). Ее собственные значения будем обозначать буквой ), а состояния частицы с определенными значениями X будем называть спиральными состояниями.

Пусть — волновая функция (плоская волна), описывающая состояние частицы с определенными , — ее амплитуда; для краткости обозначений мы не выписываем индексы компонент этой функции (для целого спина это — 4-тензорные индексы).

Мы видели в предыдущих параграфах, что при релятивистском описании частиц с отличным от нуля (целым) спином приходится вводить волновую функцию с числом компонент, превышающим 2s+1. Однако число независимых компонент при этом остается равным 2s + 1; «лишние» компоненты устраняются наложением дополнительных условий, в силу которых эти компоненты обращаются в нуль в системе покоя (в следующей главе мы увидим это же для полуцелых s).

Согласно формулам преобразования момента (см. II, § 14) спнральность инвариантна относительно преобразований Лоренца, не меняющих направления , на которое проецируется момент. Поэтому число X сохраняет при таких преобразованиях свой смысл квантового числа, и для изучения свойств симметрии спиральных состояний можно воспользоваться системой отсчета, в которой импульс (в пределе — системой покоя). Тогда сведется к нерелятивистской -компонентной волновой функции. Обозначим ее амплитуду через указав в качестве аргумента направление вдоль которого квантуется момент. Амплитуда — собственная функция оператора

В спинорном представлении до контраварнантный симметричный спинор ранга согласно формулам соответствия III (57,2) его компоненты можно перечислять также по отвечающим им значениям проекции спина о на фиксированную ось .

В импульсном представлении волновые функции рассматриваемых состояний совпадают в основном с амплитудами Именно:

где импульс как независимая переменная обозначен к, в отличие от его собственного значения в отличие от в нерелятивистском пределе

Более подробно это выражение надо было бы написать в виде

где явно указана также и дискретная независимая переменная а.

Оператор спиральности коммутативен с операторами Действительно, оператор момента связан с бесконечно малым поворотом системы координат, а скалярное произведение двух векторов инвариантно по отношению к любому повороту. Поэтому существуют стационарные состояния, в которых частица обладает одновременно определенными значениями момента его проекции и спиральности К. Будем называть такие состояния сферическими спиральными состояниями.

Определим волновые функции этих состояний в импульсном представлении. Это можно сделать непосредственно по аналогии с полученными в III, § 103 формулами для волновых функций симметричного волчка. Они были получены там на осйованйи формул для преобразования волновых функций при конечных вращениях (см. III, § 58). Последние, в свою очередь, основаны только на свойствах симметрии по отношению к вращениям; поэтому они применимы к функциям в импульсном представлении в той же мере, как и к координатным функциям.

Наряду с фиксированной в пространстве системой координат (по отношению к которой записываются функции введем также «подвижную» систему с осью вдоль направления V. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср. вывод формулы III (103,8)), напишем

где — волновая функция в «подвижной» системе координат, описывающая состояние частицы с определенным значением проекции момента: в импульсном представлении эта функция совпадает, очевидно, с амплитудой Нормированная (см. ниже) волновая функция

Здесь возникает, однако, вопрос о выборе фаз, связанный со следующей неоднозначностью. Поворот системы координат относительно определяется тремя углами Эйлера направление же v, от которого только и может зависеть волновая функция частицы, зависит лишь от двух сферических углов Поэтому надо условиться о каком-либо выборе угла . Будем полагать , т. е. определим как

В силу III (58,21) функции (16,5) удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки:

(). Ортогональность же функций по индект обеспечивается множителем Таким образом, функции ортогональны, как и должно быть, по всем индексам а при выбранном в (16,4) коэффициенте они нормированы условием

При этом предполагается, что амплитуды нормированы на единицу: .

Рассмотрим поведение волновых функций спиральных состояний по отношению к инверсии координат. Произведение полярного вектора v на аксиальный вектор j — псевдоскаляр. Поэтому ясно, что в результате инверсии состояние со спиральностью Я переходит в состояние с ; надо лишь определить фазовые множители в этих преобразованиях.

При инверсии . Вектор v определяется двумя углами и преобразование осуществляется заменой Тем самым фиксируется ось , но остается неопределенным положение осей § и зависящее также и от третьего угла Эйлера ; преобразование одних только 0 и не дает возможности различать в этом смысле инверсию системы координат от поворота оси . В терминах всех трех углов Эйлера инверсия есть преобразование

Поэтому, если определено согласно (16,5) (т. е. с а замена подразумевается как результат инверсии, то

С помощью формул III (58,9), (58,16), (58,18) находим поэтому

или

(16,10)

( — целое число).

Аналогичную формулу для спинора можно получить, заметив, что его компоненты совпадают, с точностью до множителя, с функциями

(16,11)

Действительно, применив формулу преобразования III (58,7) к собственным функциям спина и положив, что его проекция имеет определенное значение X (т. е. заменив в правой стороне III (58,7) , на мы найдем, что (-спиновые волновые функции, отвечающие определенным значениям его и -проекций (а и X). Совокупность этих функций составляет (по формулам соответствия III (57,6)) ковариантный спинор ранга Компоненты же контравариантного спинора (которым по формулам III (57,2) отвечают компоненты преобразуются как комплексно-сопряженные от компонент ковариантного спинора того же ранга.

Из (16,10-11) имеем

(16,12)

( — целое число). Операция инверсии в применении к состоит однако не только в замене но и в умножении на общий фазовый множитель («внутренняя четность» частицы), который мы обозначим

(16,13)

Для релятивистской же амплитуды это преобразование запишется в виде

(16,14)

где — некоторая матрица, единичная по отношению к компонентам остающимся в пределе Важно, что эта матрица не зависит от квантовых чисел состояния, и в этом смысле разница между (16,13) и (16,14) несущественна.

Применив (16,14) к (16,2), получим закон преобразования волновых функций состояний

Для сферических спиральных состояний, воспользовавшись (16,10) и (16,12), получим закон преобразования:

(16,16)

Состояния преобразуются, согласно (16,16), сами через себя, т. е. обладают определенной четностью. Если же , то определенной четностью обладают лишь суперпозиции состояний с противоположными спиральностями:

(16,17)

При инверсии они преобразуются сами через себя согласно

(16,18)

Обратим внимание на то, что мы произвели в этом параграфе классификацию состояний свободной частицы с заданным моментом, оперируя только с сохраняющимися величинами и не прибегая к понятию орбитального момента (использованного, например, в § 6, 7 для классификации состояний фотона).

В качестве примера рассмотрим случай . В системе покоя амплитуды (-векторы) сводятся к трехмерным векторам которые и играют здесь роль амплитуд Действие оператора спина 1 на векторную функцию дается формулой

(16,19)

(см. III, § 57, задача 2). Поэтому уравнение (16,1) принимает вид

(16,20)

Его решения (в системе координат ) с осью вдоль ) совпадают с циркулярными ортами (7,14):

(16,21)

В системе отсчета, где частица имеет импульс р, амплитуды спиральных состояний — -векторы

(16,22)

Если — полярный вектор, то Тогда функции (16,17) (при — трехмерные векторы) имеют следующие четности;

Сравнивая с определением шаровых векторов (7,4), мы видим, что эти функции тождественны (с точностью до фазовых множителей) соответственно с Определив фазовые множители (скажем, путем сравнения значений при получим следующие равенства:

(16,23)

— целое число — циркулярные орты в осях повернутых относительно на 90° вокруг оси .

Последняя из формул (16,23) эквивалентна выражению III (58,23) для Из первой же (или второй) формулы можно получить простое выражение для функций Имеем

Скалярное произведение в правой стороне равенства раскрываем в системе причем

Вспомнив определение (7,2) функции и определение (16,5), получим в результате

(16,24)