§ 41. Движение спина во внешнем поле

Переход к квазиклассическому приближению в уравнений Дирака производится так же, как и в нерелятивистской теории. В уравнение второго порядка (32,7а) подставляем в виде

где S — скаляр, и — медленно меняющийся биспинор. При этом предполагается выполненным обычное условие квазиклассичности: импульс частицы должен мало меняться на расстояниях порядка длины волны

В нулевом приближении по получается обычное классическое релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби для действия S. При этом все члены, содержащие спин (и пропорциональные ), выпадают из уравнений движения.

Спин появился бы лишь в следующем приближении по h. Другими словами, влияние магнитного момента электрона на его движение — всегда того же порядка величины, что и квантовые поправки. Это вполне естественно ввиду чисто квантовой природы спинового момента, который пропорционален .

В связи с такой ситуацией приобретает смысл постановка задачи о поведении спина электрона, совершающего заданное квазиклассическое движение во внешнем поле. Решение этой задачи содержится в следующем приближении по в уравнении Дирака. Мы применим, однако, другой способ, более наглядный и не связанный непосредственно с уравнением Дирака. Он обладает тем преимуществом, что позволяет рассматривать движение любой частицы, в том числе обладающей «аномальным» гиромагнитным отношением, не описываемым уравнением Дирака.

Наша цель состоит в установлении «уравнения движения» для спина при произвольном (заданном) движении частицы. Начнем с нерелятивистского случая.

Нерелятивистский гамильтониан частицы во внешнем поле

(41,1)

где в включены все члены, не содержащие спина (см. III, § 111); — магнитный момент частицы. Этот вид гамильтониана не связан с определенным сортом частиц. Для электронов (заряд электрона ), а у нуклонов содержит еще и «аномальную» часть

Согласно общим правилам квантовой механики операторное уравнение движения спина получается из формулы

Подставив сюда (41,1), найдем

или

Усредним это операторное равенство по состоянию квазиклассического волнового пакета, движущегося вдоль заданной траектории.

Эта операция сводится к замене оператора спина его среднем значением s, а вектора Н — функцией представляющей собой изменение магнитного поля в точке нахождения частицы (волнового пакета) при ее заданном движении вдоль траектории. В нерелятивистском приближении, т. е. в рамках уравнения Паули, есть оператор спина частицы в ее системе покоя, среднее значение которого мы обозначили в § 29 как Таким образом, мы приходим к уравнению

В таком виде это уравнение имеет, по существу, чисто классический характер. Оно означает, что вектор магнитного момента прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью оставаясь неизменным по величине.

В том же нерелятивистском случае скорость v частицы меняется согласно уравнению

т. е. вектор v вращается вокруг направления Н с угловой скоростью — Если и эта угловая скорость совпадает со скоростью вращения вектора ?; другими словами, вектор поляризации сохраняет постоянный угол с направлением движения (мы увидим ниже, что этот результат остается в силе и в релятивистском случае).

Произведем теперь релятивистское обобщение уравнения (41,5). Для ковариантного описания поляризации надо при этом пользоваться введенным в § 29 4-вектором а, а уравнение движения спина должно определять производную по собственному времени

Возможный вид этого уравнения может быть установлен уже из соображений релятивистской инвариантности, если учесть, что его правая часть должна быть линейна и однородна по тензору электромагнитного поля F и по 4-вектору помимо них, может содержать только 4-скорость

Этим условиям удовлетворяет лишь уравнение вида

где — постоянные коэффициенты. Легко видеть, что в силу условия и антисимметричности тензора F (так что никаких других выражений требуемого вида составить нельзя.

При это уравнение должно совпадать с (41,5). Положив получим

Сравнив с (41,5), найдем:

Для определения учтем, что Продифференцировав это равенство по и воспользовавшись классическим уравнением движения заряда в поле

(см. II, § 23), получим

Поэтому, умножив уравнение (41,6) с обеих сторон на и», учтя равенство — 1 и сократив общий множитель получим

Таким образом, находим окончательно релятивистское уравнение движения спина

Перейдем от 4-вектора а к величине , непосредственно характеризующей поляризацию частицы в ее «мгновенной» системе покоя; связь между дается формулами (29,7-9). Сразу же отметим, что из (41,7) автоматически следует, что . Поскольку это означает естественный результат: при движении частицы ее поляризация ; остается неизменной по величине.

Уравнение, определяющее изменение направления поляризации, получим, перейдя в (41,7) к трехмерным обозначениям. Раскрыв пространственные компоненты этого уравнения, найдем

Сюда надо подставить (29,9), учитывая при дифференцировании равенства и уравнения движения

Элементарное, хотя и довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению:

Особый интерес представляет не столько изменение абсолютного направления поляризации в пространстве, сколько его изменение по отношению к направлению движения. Представим g в виде

(41,10)

(где ) и выпишем уравнение для проекции поляризации на направление движения. Вычисление с помощью (41,8-9) приводит к следующему результату:

(41,11)

Ряд примеров применения полученных уравнений рассмотрен в задачах к этому параграфу. Здесь же отметим лишь, что при движении в чисто магнитном поле поляризация частицы без аномального магнитного момента сохраняет постоянный угол со скоростью ).

Таким образом, этот результат, указанный уже выше для нерелятивистского случая, действительно, имеет общий характер.

Уточним условия применимости полученных уравнений. Упомянутое вначале требование достаточно медленного изменения импульса частицы сводится к определенному условию малости полей Е и Н; в частности, ларморов радиус в магнитном поле должен быть велик по сравнению с длиной волны частицы. Помимо этого, однако, должно выполняться, строго говоря, еще и условие не слишком быстрого изменения полей в пространстве: поле должно мало меняться на размерах квазиклассического волнового пакета. Тем самым, поле должно мало меняться на расстояниях порядка длины волны частицы , а также на комптоновской длине волны,

Впрочем, в практических задачах о движении в макроскопических полях условие медленности их изменения заведомо выполняется, так что фактически требуется лишь достаточная их малость.

В § 33 были найдены первые релятивистские поправки для гамильтониана электрона, движущегося во внешнем поле. Для электрона в электрическом поле приближенный гамильтониан имеет вид (см. (33,12))

где в включены члены, не содержащие спина. В нашем случае в силу медленного изменения поля в следует пренебречь членом с производными от Е (т. е. с ); можно опустить также малый член с не имеющий отношения к интересующим нас здесь эффектам поля, так что (в отсутствие магнитного поля) сводится к нерелятивистскому гамильтониану .

Формулу (41,12) можно получить также исходя из уравнения (41,9), не прибегая непосредственно к уравнению Дирака. Тем самым будет достигнуто ее обобщение (в квазиклассическом случае) для частиц с аномальным магнитным моментом.

С точностью до членов первого порядка по скорости v уравнение движения спина в электрическом поле получается из (41,9) в виде

Если потребовать, чтобы это уравнение получалось квантовомеханически путем коммутирования оператора спина с гамильтонианом (согласно (41,3)), то, как легко проверить, надо положить

Это и есть искомое выражение. При мы возвращаемся к (41,12). Обратим внимание на то, что «нормальный» магнитный момент входит с лишним множителем по сравнению с аномальным моментом

Задачи

1. Определить изменение направления поляризации частицы при ее движении в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю .

Решение. В правой стороне уравнения (41,9) остается лишь первый член, т. е. вектор прецессирует вокуг направления Н (ось ) с угловой скоростью

С этой же угловой скоростью вращается в плоскости проекция на эту плоскость (обозначим ее ). Вектор же v вращается в той же плоскости с угловой скоростью (как это видно из уравнения движения ). Отсюда видно, что поворачивается относительно направления v с угловой скоростью — .

2. То же при движении вдоль направления магнитного поля. Решелие. При совпадающих направлениях v и Н уравнение (41,9) приводится к виду

т. е. прецессирует вокруг общего направления v и Н с угловой скоростью

3. То же при движении в однородном электрическом поле.

Решение. Пусть поле Е направлено вдоль оси а движение происходит в плоскости (при этом ). Из (41,9) видно, что вектор прецессирует вокруг оси с мгновенной угловой скоростью

Снова разложим на составляющие (в плоскости ). Тогда

Из (41,11) находим, что вращается относительно направления v с мгновенной угловой скоростью