§ 89. Аннигиляция позитрония

В силу сохранения импульса аннигиляция электрона и позитрона в позитронии должна сопровождаться испусканием по крайней мере двух фотонов. Такой распад, однако, возможен (в основном состоянии) только для парапозитрония. В § 9 было показано, что полный момент системы двух фотонов не может быть равен 1. Поэтому ортопозитроний, находящийся в состоянии не может распасться на два фотона. Более того, поскольку в состоянии позитроний представляет собой зарядово-нечетную систему (см. задачу к § 27), то в силу теоремы Фарри (см. § 79) невозможен его распад и вообще на любое четное число фотонов. Напротив, в состоянии позитроний зарядово-четен, и потому запрещен распад парапозитрония на любое нечетное число фотонов.

Основным процессом, определяющим время жизни позитрония, является, таким образом, двухфотонная аннигиляция в случае парапозитрония и трехфотонная аннигиляция в случае ортопозитрония (И. Я. Померанчук, 1948). Вероятность распада можно связать с сечением аннигиляции свободной пары.

Импульсы электрона и позитрона в позитронии т. е. малы по сравнению с Поэтому при вычислении вероятности аннигиляции можно перейти к пределу двух частиц, покоящихся в начале координат. Пусть — сечение двухфотонной аннигиляции свободной пары, усредненное по направлениям спинов обеих частиц. В нерелятивистском пределе согласно (88,11))

где v — относительная скорость частиц. Мы получим вероятность аннигиляции умножив на плотность потока, равную . Здесь -нормированная на 1 волновая функция основного состояния позитрония:

(боровский радиус позитрония а в два раза больше радиуса атома водорода из-за вдвое меньшей приведенной массы).

Эта вероятность, однако, отвечает усредненному по спинам начальному состоянию. Между тем в позитронии из четырех возможных спиновых состояний системы двух частиц способно к двухфотонной аннигиляции лишь одно (с полным спином 0). Поэтому средняя вероятность распада связана с вероятностью распада парапозитрония соотношением . Таким образом,

Подставив значения величин из (89,1-2), получим для продолжительности жизни парапозитрония

Обратим внимание на то, что ширина уровня мала по сравнению с его энергией

Именно это обстоятельство и позволяет рассматривать позитроний как квазистационарную систему.

Аналогичным образом найдем, что вероятность распада ортопозитрония связана с усредненным по спинам сечением трехфотонной аннигиляции свободной пары соотношением

( — относительный статистический вес состояния со спином 1). Забегая вперед, укажем, что

Поэтому продолжительность жизни ортопозитрония

Неравенство в этом случае, разумеется, выполняется еще в большей степени, чем для парапозитрония.

Вычислим сечение трехфотонной аннигиляции свободной пары (A. Ore, J. L. Powell, 1949).

Согласно (64,18) сечение рассматриваемого процесса в системе центра инерции выражается через квадрат амплитуды формулой

причем согласно (64,16) , где v — относительная скорость позитрона и электрона (которую предполагаем малой); — волновые векторы и частоты возникающих фотонов; -функции выражают законы сохранения энергии и импульса.

В силу этих законов три частоты должны изображаться длинами сторон треугольника с периметром . Другими словами, величины импульсов и углы между ними полностью определяются заданием двух частот. Трехфотонной аннигиляции отвечают диаграмма

и еще пять диаграмм, получающихся перестановкой фотонов Соответствующую амплитуду запишем в виде

где

причем сумма берется по всем перестановкам - номеров фотонов 1, 2, 3 вместе с одновременными такими же перестановками соответствующих тензорных индексов Квадрат модуля амплитуды, усредненный по поляризациям электрона и позитрона и просуммированный по поляризациям фотонов:

(89,11)

где

Матрицы отличаются от матриц обращением порядка множителей в каждом члене суммы. В интересующем нас предельном случае малых скоростей электрона и позитрона можно положить их 3-импульсы равными нулю, т. е. положить Тогда электронные функции Грина

и т. п., а матрицы плотности сводятся к

При перемножении в (89,11) возникает большое количество членов. Однако число подлежащих вычислению членов можно сильно уменьшить, если воспользоваться в полной мере симметрией по отношению к перестановкам фотонов. Так, достаточно перемножить шесть членов в (89,10) лишь с одним каким-либо членом в . В оставшихся, таким образом, шести следах тоже можно выделить некоторые части, переходящие друг в друга при различных перестановках фотонов. Возникающие при раскрытии следов произведения 4-векторов выражаются все через частоты Поскольку то . Произведения же определяются из уравнения сохранения 4-импульса: так, переписав это равенство в виде и возведя его в квадрат, получим

(89,12)

В результате все же довольно длинного вычисления получается

Подставив это выражение в (89,8), найдем дифференциальное сечение трехфотонной аннигиляции:

Здесь надо еще исключить -функции. Первая из них устраняется интегрированием по после чего заменяем остальные дифференциалы:

где — угол между подразумевается, что уже произведено интегрирование по направлениям и азимуту относительно Дифференцируя равенство

находим

Интегрированием по устраняем вторую -функцию.

В результате получим сечение для аннигиляции с образованием фотонов с заданными энергиями в виде

(имея в виду дальнейшее интегрирование по частотам, мы ввели сюда множитель учитывающий тождественность фотонов — ср. примеч. на с. 287).

Каждая из частот может пробегать значения между (значение достигается двумя частотами, когда третья равна нулю). При заданном частота меняется между . Интегрируя (89,14) по в этих пределах, получаем спектральное распределение фотонов распада:

Рис. 14

Функция монотонно возрастает от нуля при до 1 при на рис. 14 изображен ее график.

Полное сечение аннигиляции получается интегрированием (89,14) по обеим частотам:

Стоящий здесь двойной интеграл равен и мы приходим к приведенной выше формуле (89,6).