ГЛАВА I. ФОТОН

§ 2. Квантование свободного электромагнитного поля

Поставив своей целью рассмотреть электромагнитное поле как квантовый объект, удобно исходить из такого классического описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконечным, но дискретным рядом переменных; такое описание позволит непосредственно. применить обычный аппарат квантовой механики. Представление же поля с помощью потенциалов, задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помощью непрерывного множества переменных.

Пусть — векторный потенциал свободного электромагнитного поля, удовлетворяющий «условию поперечности»

При этом скалярный потенциал Ф = 0, а поля Е и Н:

Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А:

Как известно (см. II, § 52), в классической электродинамике переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных осуществляется путем рассмотрения поля в некотором большом, но конечном объеме пространства У. Напомним, как это делается, опустив детали вычислений.

Поле в конечном объеме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида

где коэффициенты зависят от времени по закону

В силу условия (2,1) комплексные векторы ортогональны соответствующим волновым векторам:

Суммирование в (2,4) производится по бесконечному дискретному набору значений волнового вектора (его трех компонент ). Переход к интегрированию по непрерывному распределению можно произвести с помощью выражения

для числа возможных значений к, приходящихся на элемент объема k-пространства .

Заданием векторов полностью определяется поле в данном объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как дискретный набор классических «переменных поля». Для выяснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует произвести еще некоторое преобразование этих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) классической механики Канонические переменные поля определяются посредством

(они, очевидно, вещественны). Векторный потенциал выражается через канонические переменные согласно

Для нахождения функции Гамильтона Н надо вычислить полную энергию поля

выразив ее через величины Представив А в виде разложения (2,7), вычислив Е и Н согласно (2,2) и произведя интегрирование, получим

Каждый из векторов перпендикулярен волновому вектору k, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направление этих векторов определяет направление поляризации соответствующей волны.

Обозначив две компоненты векторов (в плоскости, перпендикулярной к) посредством перепишем функцию Гамильтона в виде

Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложении говорят как о разложении поля на осцилляторы.

Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные координаты и обобщенные импульсы — как операторы с правилом коммутации

(операторы же с разными все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также потенциал А и, согласно (2,2), напряженности Е и Н.

Последовательное определение гамильтониана поля требует вычисления интеграла

в котором Е и Н выражены через операторы Фактически, однако, некоммутативность последних при этом не проявляется, так как произведения входят с множителем , обращающимся в нуль при интегрировании по всему объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается выражение

в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать.

Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, § 23). Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля

где — целые числа.

К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин что можно сделать непосредственно с помощью известных формул для матричных элементов координат осциллятора (см. III, § 23). Отличные от нуля матричные элементы равны

Матричные элементы величин отличаются от матричных элементов лишь множителем

В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользоваться вместо величин их линейными комбинациями которые имеют матричные элементы только для переходов . Соответственно этому вводим операторы

(классические величины совпадают с точностью до множителя с коэффициентами в разложении (2,4)) Матричные элементы этих операторов равны

Правило коммутации между получается с помощью определения (2,14) и правила (2,9):

Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида (2,4), в котором, однако, коэффициенты являются теперь операторами. Напишем его в виде

где

Мы ввели обозначение для единичных векторов, указывающих направление поляризации осцилляторов; векторы перпендикулярны волновому вектору к, причем для каждого к имеются две независимые поляризации.

Аналогично для операторов Е и Н напишем

причем

Векторы взаимно ортогональны в том смысле, что

Действительно, если различаются волновыми векторами, то их произведение содержит множитель дающий нуль при интегрировании по объему; если же они различаются лишь поляризациями, то так как два независимых направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные соотношения справедливы для векторов Их нормировку удобно записать в виде

Подставив операторы (2,19) в (2,10) и произведя интегрирование с помощью (2,22), получим гамильтониан поля, выраженный через операторы

Этот оператор в рассматриваемом представлении (матричные элементы операторов с, из (2,15)) диагонален, и его собственные значения совпадают, конечно, с (2,12).

В классической теории импульс поля определяется как интеграл:

При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами ,(2,19) и без труда находим

— в соответствий с известным классическим соотношением между энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения этого оператора

Представление операторов, осуществляемое матричными элементами (2,15), есть «представление чисел заполнения», — оно отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания квантовых чисел {числа заполнения). В этом представлении операторы поля (2,19) (а с ними и гамильтониан (2,11)) действуют на волновую функцию системы, выраженную в функции чисел обозначим ее

Операторы поля (2,19) не зависят явно от времени. Это соответствует обычному в нерелятивистской квантовой механике шредингеровскому представлению операторов. Зависящим же от времени является при этом состояние системы причем эта зависимость определяется уравнением Шредингера

Такое описание поля по существу релятивистски инвариантно, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Максвелла. Но эта инвариантность не выявлена явно, — прежде всего потому, что пространственные координаты и время входят в описание крайне несимметричным образом.

В релятивистской теории целесообразно придать описанию внешне более инвариантный вид. Для этой цели надо воспользоваться так называемым гейзенберговским представлением, в котором явная временная зависимость перенесена на сами операторы (см. III, § 13). Тогда время и координаты будут равноправным образом входить в выражения для операторов поля, а состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполнения.

Для оператора А переход к гейзенберговскому представлению сводится к замене в каждом члене суммы в (2,17), (2,18) множителя на т. е. к тому, чтобы под понимать зависящие от времени функции

В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гейзенберговского оператора для перехода должен содержать множитель где и -энергии начального и конечного состояний (см. III, § 13). Для перехода с уменьшением или увеличением на 1 этот множитель сводится соответственно к или Это требование будет соблюдено в результате указанной замены.

В дальнейшем (при рассмотрении как электромагнитного поля, так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзенберговское представление операторов.