§ 21. Симметричная форма уравнения Дирака

Спинорная форма записи уравнения Дирака является наиболее естественной в том смысле, что она непосредственно выявляет его релятивистскую инвариантность, Однако в применениях могут оказаться более удобными другие представления волнового уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех независимых компонент волновой функции.

Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом (с компонентами ). В спинорном представлении это есть биспинор:

Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых компонент любые линейно независимые комбинации компонент спиноров .

Условимся при этом ограничивать допустимые линейные преобразования лишь требованием унитарности; такие преобразования не меняют составленные из билинейные формы (см. § 28).

В общем случае произвольного выбора компонент уравнение Дирака можно представить в виде

где четырехрядные матрицы (матрицы Дирака). Будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы:

где

Так, спинорной форме уравнения с компонентами из (21,1) соответствуют матрицы

как это легко видеть, записав уравнения (20,5) в виде

и сравнив с (21,2).

В общем случае матрицы у должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство Для выяснения этих условий умножим уравнение (21,2) слева на Имеем

Поскольку — симметричный тензор (все операторы коммутативны), можно переписать это равенство как

откуда видно, что должно быть

Таким образом, все пары различных матриц антикоммутативны, а квадраты каждой из них:

При произвольном унитарном преобразовании компонент где U — унитарная четырехрядная матрица) матрицы у преобразуются согласно

(так что уравнение переходит в ). Перестановочные соотношения (21,4) при этом, разумеется, остаются неизменными.

Матрица из (21,3) эрмитова, а матрицы у антиэрмитовы. Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразовании (21,6), так что мы будем всегда иметь

Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной функции Взяв комплексно-сопряженное от уравнения (21,2), с учетом свойств (21,7) получим

Переставляем согласно и умножаем затем уравнение справа на замечая, что и вводя новый биспинор

получаем

Как и в (20,11), оператор предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию называют дираковски-сопряженной (или релятивистски-сопряженной) функции Смысл множителя в ее определении заключается в том, что (в спинорном представлении) он переставляет спиноры так, что первым оказывается (как и в ) непунктирный, а вторым — пунктирный спинор; именно по этой причине является более естественным (чем «партнером» когда, например, они фигурируют совместно в различных билинейных комбинациях (см. § 28).

Преобразование инверсии для волновой функции можно представить в виде

(21,10)

При спинорном представлении матрица переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты

Инвариантность уравнения Дирака относительно преобразования (21,10) в общем случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнении и одновременно получим

Умножив это уравнение слева на и учитывая антикоммутативность . вернемся к исходному уравнению.

Умножив уравнение слева на а уравнение справа на и сложив их, получим

где скобки указывают, на какую функцию распространяется действие оператора . Полученное равенство имеет вид уравнения непрерывности , так что величина

(21,11)

представляет собой 4-вектор плотности тока частиц. Отметим, что его временная компонента положительно определена.

Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени:

(21,12)

где — гамильтониан частицы. Для этого достаточно умножить уравнение (21,2) слева на . Для гамильтониана получается выражение

(21,13)

где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц:

(21,14)

Отметим, что

(21,15)

т. е. все матрицы антикоммутируют друг с другом, а их квадраты равны 1; все они эрмитовы. В спинорном представлении

В предельном случае малых скоростей частица должна описываться, как и в нерелятивистской теории, всего одним двухкомпонентным спинором. Действительно, перейдя в уравнениях (20,5) к пределу , получим т. е. оба спинора, составляющие биспинор, совпадают друг с другом. Здесь, однако, проявляется недостаток спинорной формы записи уравнения Дирака: при предельном переходе остаются отличными от нуля все четыре компоненты хотя в действительности лишь две из них независимы. Более удобно такое представление волновой функции при котором в пределе две из ее компонент обращаются в нуль.

Соответственно этому введем вместо их линейные комбинации

Тогда для покоящейся частицы Это представление будем называть стандартным. При инверсии преобразуются сами через себя согласно

(21,18)

Уравнения для получим, складывая и вычитая уравнения (20,5):

(21,19)

Отсюда видно, что стандартному представлению отвечают матрицы

(21,20)

Поскольку в (21,17) складываются отдельно первые и вторые компоненты , то в стандартном представлении, как и в спинорном, компоненты и отвечают собственным значениям проекции спина и — проекции . В обоих этих представлениях, следовательно, матрица где

представляет собой трехмерный оператор спина: при действии на биспинор, содержащий лишь компоненты или биспинор умножается на или . В произвольном представлении эта матрица может быть записана в виде

(21,22)

(определение см. ниже, (22,14)).

Задачи

1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном повороте.

Решение. В спинорном представлении при бесконечно малом преобразовании Лоренца

(см. (18,8), (18,8а), (18,12)). Обе формулы можно записать вместе в виде

Аналогичным образом закон преобразования при бесконечно малом повороте:

В таком виде формулы справедливы в любом представлении если понимать под матрицы в том же представлении.

Легко гроверить, что матрицы а и 2 составляют компоненты антисимметричного «матричного 4-тензора»

(перечисление компонент дано по правилу (19,15)). Введем также бесконечно малый антисимметричный тензор Тогда

и обе формулы (1—2) можно записать в едином виде:

2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не содержало мнимых коэффициентов (Е. Majorana, 1937).

Решение. В стандартном представлении в уравнении

мнимыми являются лишь матрицы Эту мнимость можно устранить, произведя такое преобразование в результате которого мнимая матрица переставится с вещественной матрицей . Для этого надо положить

Тогда

и уравнение Дирака приобретает вид

в котором все коэффициенты вещественны.