Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 21. Симметричная форма уравнения ДиракаСпинорная форма записи уравнения Дирака является наиболее естественной в том смысле, что она непосредственно выявляет его релятивистскую инвариантность, Однако в применениях могут оказаться более удобными другие представления волнового уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех независимых компонент волновой функции. Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом (с компонентами ). В спинорном представлении это есть биспинор:
Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых компонент любые линейно независимые комбинации компонент спиноров . Условимся при этом ограничивать допустимые линейные преобразования лишь требованием унитарности; такие преобразования не меняют составленные из билинейные формы (см. § 28). В общем случае произвольного выбора компонент уравнение Дирака можно представить в виде
где четырехрядные матрицы (матрицы Дирака). Будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы:
где
Так, спинорной форме уравнения с компонентами из (21,1) соответствуют матрицы
как это легко видеть, записав уравнения (20,5) в виде
и сравнив с (21,2). В общем случае матрицы у должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство Для выяснения этих условий умножим уравнение (21,2) слева на Имеем
Поскольку — симметричный тензор (все операторы коммутативны), можно переписать это равенство как
откуда видно, что должно быть
Таким образом, все пары различных матриц антикоммутативны, а квадраты каждой из них:
При произвольном унитарном преобразовании компонент где U — унитарная четырехрядная матрица) матрицы у преобразуются согласно
(так что уравнение переходит в ). Перестановочные соотношения (21,4) при этом, разумеется, остаются неизменными. Матрица из (21,3) эрмитова, а матрицы у антиэрмитовы. Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразовании (21,6), так что мы будем всегда иметь
Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной функции Взяв комплексно-сопряженное от уравнения (21,2), с учетом свойств (21,7) получим
Переставляем согласно и умножаем затем уравнение справа на замечая, что и вводя новый биспинор
получаем
Как и в (20,11), оператор предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию называют дираковски-сопряженной (или релятивистски-сопряженной) функции Смысл множителя в ее определении заключается в том, что (в спинорном представлении) он переставляет спиноры так, что первым оказывается (как и в ) непунктирный, а вторым — пунктирный спинор; именно по этой причине является более естественным (чем «партнером» когда, например, они фигурируют совместно в различных билинейных комбинациях (см. § 28). Преобразование инверсии для волновой функции можно представить в виде (21,10) При спинорном представлении матрица переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты Инвариантность уравнения Дирака относительно преобразования (21,10) в общем случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнении и одновременно получим
Умножив это уравнение слева на и учитывая антикоммутативность . вернемся к исходному уравнению. Умножив уравнение слева на а уравнение справа на и сложив их, получим
где скобки указывают, на какую функцию распространяется действие оператора . Полученное равенство имеет вид уравнения непрерывности , так что величина (21,11) представляет собой 4-вектор плотности тока частиц. Отметим, что его временная компонента положительно определена. Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени: (21,12) где — гамильтониан частицы. Для этого достаточно умножить уравнение (21,2) слева на . Для гамильтониана получается выражение (21,13) где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц: (21,14) Отметим, что (21,15) т. е. все матрицы антикоммутируют друг с другом, а их квадраты равны 1; все они эрмитовы. В спинорном представлении
В предельном случае малых скоростей частица должна описываться, как и в нерелятивистской теории, всего одним двухкомпонентным спинором. Действительно, перейдя в уравнениях (20,5) к пределу , получим т. е. оба спинора, составляющие биспинор, совпадают друг с другом. Здесь, однако, проявляется недостаток спинорной формы записи уравнения Дирака: при предельном переходе остаются отличными от нуля все четыре компоненты хотя в действительности лишь две из них независимы. Более удобно такое представление волновой функции при котором в пределе две из ее компонент обращаются в нуль. Соответственно этому введем вместо их линейные комбинации
Тогда для покоящейся частицы Это представление будем называть стандартным. При инверсии преобразуются сами через себя согласно (21,18) Уравнения для получим, складывая и вычитая уравнения (20,5): (21,19) Отсюда видно, что стандартному представлению отвечают матрицы (21,20) Поскольку в (21,17) складываются отдельно первые и вторые компоненты , то в стандартном представлении, как и в спинорном, компоненты и отвечают собственным значениям проекции спина и — проекции . В обоих этих представлениях, следовательно, матрица где
представляет собой трехмерный оператор спина: при действии на биспинор, содержащий лишь компоненты или биспинор умножается на или . В произвольном представлении эта матрица может быть записана в виде (21,22) (определение см. ниже, (22,14)). Задачи1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном повороте. Решение. В спинорном представлении при бесконечно малом преобразовании Лоренца
(см. (18,8), (18,8а), (18,12)). Обе формулы можно записать вместе в виде
Аналогичным образом закон преобразования при бесконечно малом повороте:
В таком виде формулы справедливы в любом представлении если понимать под матрицы в том же представлении. Легко гроверить, что матрицы а и 2 составляют компоненты антисимметричного «матричного 4-тензора»
(перечисление компонент дано по правилу (19,15)). Введем также бесконечно малый антисимметричный тензор Тогда
и обе формулы (1—2) можно записать в едином виде:
2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не содержало мнимых коэффициентов (Е. Majorana, 1937). Решение. В стандартном представлении в уравнении
мнимыми являются лишь матрицы Эту мнимость можно устранить, произведя такое преобразование в результате которого мнимая матрица переставится с вещественной матрицей . Для этого надо положить
Тогда
и уравнение Дирака приобретает вид
в котором все коэффициенты вещественны.
|
1 |
Оглавление
|