§ 119. Вычисление массового оператора

На примере вычисления массового оператора продемонстрируем метод прямой регуляризации интегралов Фейнмана.

В первом неисчезающем приближении массовый оператор представляется петлей в диаграмме

Ей отвечает интеграл

подставив пропагаторы и сведя вместе множители с помощью формул (22,6), получим

(чертой над буквой Ж мы отмечаем нерегуляризованное значение интеграла).

В фотонный пропагатор введена фиктивная «масса фотона» А с целью устранения (как и в § 117) инфракрасной расходимости.

Преобразуем интеграл с помощью формулы (131,4), понимая в ней под два множителя в знаменателе (119,2). После простой перегруппировки членов в знаменателе нового интеграла получим

где

(119,4)

Замена переменной приводит подынтегральное выражение в (119,3) к виду, в котором его знаменатель зависит только от При этом, однако, согласно (131,17-18) к интегралу добавится аддитивная постоянная:

(119,5)

(член с в числителе теперь опущен как обращающийся в нуль при интегрировании по направлениям 4-вектора ср. (131,8)).

Регуляризация этого интеграла заключается в таких вычитаниях, которые привели бы его к выражению вида (110,20). Последнее обращается в нуль при умножении на волновую амплитуду если 4-импульс реального электрона. Не вводя явно, можно сформулировать это условие как требование обращения в нуль при замене

(119,6)

Форма интеграла (119,5) удобна при этом тем, что -вектор входит в него только в виде (а члены вида отсутствуют).

Вычтя из (119,5) такое же выражение с заменой (119,6), получим

где

Для окончательной регуляризации, однако, должно быть произведено еще одно вычитание: согласно (110,20) при замене (119.6) должно обратиться в нуль не только в целом, но и оно же без одного множителя Соответствующим вычитанием целиком отбрасываются второй и третий члены в фигурных скобках в (119,7)1). Первый же интеграл предварительно преобразуем, введя еще одно вспомогательное интегрирование с помощью формулы (131,5), положив в ней и понимая под а и соответственно Тогда выражение (119.7) принимает вид

(здесь использовано также тождество ). Сразу же произведем интегрирование по Предположив, что и воспользовавшись (131,14), получим

Теперь остается, опустив временно множитель эычесть такой же интеграл с заменой (119,6); после простых приведений получим

(119,8)

(в общем знаменателе опущен член с так как это не приведет здесь к расходимости; в другом месте ) заменено на так как инфракрасной расходимости будет отвечать расходимость при

Интегрирование в (119,8) (сначала по , а затем по ) довольно длинно, но элементарно и приводит к следующему окончательному результату:

(119,9)

где обозначено

(R. Karpins, N. М. Kroll, 1950). Интеграл вычислен в предположении причем . В соответствии с правилом обхода полюсов, при аналитическом продолжении выражения (119,9) в область фаза логарифма определяется заменой при этом так что при надо понимать как

(119,10)

Рассмотрим поведение массового оператора при Имеем тогда и с логарифмической точностью

(119,11)

Как и в случае фотонного пропагатора (ср. формулы (113,15- 16) для поляризационного оператора), поправка к GH оказывается малой, только при не слишком большой энергии, именно при;

В данном случае, однако, логарифмический рост в известном смысле фиктивен, он может быть устранен надлежащим выбором калибровки, т. е. функции в фотонном пропагаторе (Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954). Именно, для этого надо положить (в обозначениях § 103)

(119,12)

между тем как формула (119,9) получена в калибровке

(119,13)

Это свойство калибровки (119,12) делает ее особенно удобной для исследования характера теории при что и будет использовано ниже, в § 132.

Для доказательства сделанного утверждения замечаем, что если мы интересуемся только членами то преобразование от калибровки (119,13) к калибровке (119,12) можно считать бесконечно малым. Соответственно этому можно прямо воспользоваться формулой (105,14), положив в ней

а также заменив, с требуемой точностью, функции в подынтегральном выражении на G. В интеграле по будет существенна область при этом в подынтегральном выражении много меньше им можно пренебречь. Тогда

Наконец, применив преобразование получим

где — вспомогательный верхний предел, расходимость на котором устраняется перенормировкой. Последняя состоит в вычитании того же выражения при так что окончательно имеем

Это выражение как раз сокращается с разностью — из (119,11).

Наконец, остановимся на вопросе о причинах, приводящих к необходимости введения конечной «массы фотона» К при регуляризации интеграла (119,2), тесно связанной с его поведением при

Прежде всего отметим, что сам по себе этот интеграл с конечен при (для устранения несущественной в данном аспекте расходимости на больших k полагаем при этом, что интеграл берется по большой, но конечной области -пространства). Необходимость же введения А, возникает при вычитании перенормировочного интеграла, который без этого расходился бы при Выясним поэтому, как вел бы себя при нерегуляризованный массовый оператор. Поскольку же это поведение существенно зависит от выбора калибровки, рассмотрим общий случай произвольной калибровки (между тем как интеграл (119,2) написан уже при определенном выборе — (119,13)).

Воспользуемся снова преобразованием (105,14). Представив в виде

будем считать, что — вариация функции существенно меняющейся лишь на интервалах и конечной при . В подынтегральном выражении в правой стороне (105,14) в разности при малых q оба члена близки и интеграл сходится. Поскольку при малых

можно опустить по сравнению с при Интеграл же

логарифмически расходится в области

С логарифмической точностью имеем поэтому

Это равенство можно проинтегрировать. Заметив, что при а точный пропагатор § должен совпадать с пропагатором свободных частиц G, получим

где — некоторая постоянная. Для определения последней сравним выражение

(119,16)

получающееся из (119,15) в первом приближении по а, с аналогичным выражением, получающимся из интеграла (119,2) при

(119,17)

Согласно определению (119,14) функция совпадает с отношением . Поэтому калибровка (119,13), к которой относится (119,17), отвечает Потребовав совпадения (119,16) и (119,17) при этом значении получим

Таким образом, окончательно находим следующее предельное выражение (инфракрасную асимптотику) неперенормированного электронного пропагатора при

(А. А. Абрикосов, 1955). Подчеркнем, что справедливость этой формулы связана лишь с неравенствами а <С между тем как формулы теории возмущений требовали бы также и условия . Отметим также, что знак разности здесь не существен, так как мнимая часть выражения (119,18) все равно находилась бы за пределами его точности.

Перенормированный пропагатор должен иметь при простой полюс. Мы видим, что (119,18) удовлетворяет этому требованию только в калибровке, в которой

(119,19)

(так что В этом случае регуляризация интеграла Фейнмана (имеющая целью устранить его расходимость на верхних пределах) не будет требовать введения конечной «массы фотона». В других же калпбровках нулевая масса фотона приводит к возникновению при точки ветвления вместо простого полюса, и устранение этого «дефекта» требует введения конечного параметра К.