§ 18. Связь спиноров с 4-векторами

Спинор с одним пунктирным и одним непунктирным индексом имеет 2•2 = 4 независимые компоненты — как раз столько, сколько компонент имеет 4-вектор. Ясно поэтому, что тот и другой реализуют одно и то же неприводимое представление собственной группы Лоренца, и между их компонентами должно иметься определенное соответствие.

Для установления этого соответствия обратимся прежде всего к аналогичному соответствию в трехмерном случае, учитывая, что по отношению к чисто пространственным вращениям поведение 3- и 4-спиноров должно быть одинаковым.

Для трехмерного спинора имеют место формулы соответствия (см. III, § 57), которые мы запишем здесь в виде

где — компоненты некоторого трехмерного вектора а. Переходя к четырехмерному случаю, надо заменить компоненты на а под понимать контравариантные компоненты -вектора.

Что же касается выражения для четвертой компоненты вектора, то его вид заранее ясен из отмеченного в § 17 обстоятельства: величина (17,6) должна преобразовываться как Поэтому коэффициент пропорциональности определяется так, чтобы скаляр падал со скаляром

Таким образом, мы приходим к следующим формулам соответствия:

Обратные формулы:

Отметим также, что

Последнее равенство следует из того, что спинор второго ранга антисимметричен по индексам и потому пропорционален метрическому спинору.

Соответствие между спинором 4-вектором является частным случаем общего правила: всякий симметричный спинор ранга эквивалентен симметричному неприводимому (т. е. обращающемуся в нуль при упрощении по любой паре индексов) 4-тензору ранга k.

Связь между спинором и 4-вектором можно записать в компактном виде с помощью двухрядных матриц Паули:

Если обозначить символически посредством матрицу величин с верхними индексами (причем первый — непунктирный), то формулы (18,2) записываются в виде

(во втором члене подразумевается, конечно, произведение на единичную матрицу). Обратные формулы:

С помощью формул (18,6-7) можно установить связь между законами преобразования 4-вектора и спинора и тем самым выразить закон преобразования спинора через параметры поворотов 4-системы координат.

Запишем преобразование спинора в виде

где В — двухрядная матрица, составленная из коэффициентов бинарного преобразования. Тогда преобразование пунктирного спинора:

а преобразование спинора второго ранга запишем символически как При бесконечно малом преобразовании , где — малая матрица, и с точностью до малых величин первого порядка

(18,10)

Рассмотрим сначала преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся с бесконечно малой скоростью (без изменения направления пространственных осей). При этом 4-вектор преобразуется согласно

(18,11)

Воспользуемся теперь формулами (18,7). Преобразование можно представить, с одной стороны, как

а с другой стороны, как

Эти выражения должны совпадать тождественно (т. е. произвольном ). Отсюда находим следующее равенство:

Таким же способом, рассмотрев преобразование а, получим

Эти равенства как уравнения для X имеют следующее решение:

Таким образом, бесконечно малое преобразование Лоренца спинора осуществляется матрицей

(18,12)

где — единичный вектор в направлении скорости . Отсюда легко найти преобразование и для конечной скорости V. Для этого вспомним, что преобразование Лоренца означает (геометрически) поворот -системы координат в плоскости на угол связанный со скоростью V равенством Бесконечно малому преобразованию соответствует угол а поворот на конечный угол осуществляется -кратным повторением поворота на Возводя оператор (18,12) в степень и переходя к пределу получаем

Математический смысл действия этого оператора выясняется, если заметить, что по свойствам матриц Паули все четные степени от равны 1, а все нечетные степени равны Учитывая, что разлагается по четным, а по нечетным степеням аргумента, получаем окончательно

(18,14)

Отметим, что матрицы В преобразований Лоренца оказываются эрмитовыми:

Рассмотрим теперь бесконечно малый поворот пространственной системы координат. При этом трехмерный вектор а преобразуется согласно

(18,15)

где — вектор бесконечно малого угла поворота.

Соответствующее преобразование спинора можно было бы найти аналогичным образом. В этом» однако, нет необходимости, так как по отношению к пространственным поворотам поведение 4-спиноров совпадает с поведением 3-спиноров, а для последних преобразование известно заранее из общей связи оператора спина с оператором бесконечо малого поворота:

(18,16)

Переход к повороту на конечный угол 0 производится аналогично переходу от (18,12) к (18,14):

(18,17)

где — орт оси вращения. Эта матрица унитарна как и должно быть для пространственного поворота.