§ 22. Алгебра матриц Дирака

При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, приходится широко пользоваться матрицами , не прибегая к их конкретному виду в том или ином определенном представлении. Правила оперирования этими матрицами всецело определяются перестановочными соотношениями

выражающими все их общие свойства.

В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алгебры матриц , полезных в различных вычислениях.

«Скалярное произведение» матриц самих на себя: . Для краткой записи введем, по аналогии с ковариантными компонентами 4-векторов, обозначение . Тогда

Если же матрицы и разделены одним или несколькими множителями , то одной или несколькими перестановками множителей (с помощью правила (22,1)) можно привести к соседним положениям, после чего суммирование (по ) совершается согласно (22,2). Таким способом получаются следующие формулы:

Обычно множители фигурируют в комбинации с различными 4-векторами в виде «скалярных произведений

Для таких произведений формулы (22,1) принимают вид

а формулы (22,3):

Широко используемой операцией является взятие следа произведения некоторого числа матриц . Рассмотрим величины

В силу известного свойства следа произведения матриц этот тензор симметричен по отношению к циклическим перестановкам индексов

Так как матрицы у имеют одинаковый вид в произвольной системе отсчета, величины Т также не зависят от выбора системы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через обладающий этим свойством метрический тензор

Но из тензора второго ранга можно составить лишь тензоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след произведения любого нечетного числа множителей равен нулю. В частности, равен нулю след каждой из :

След единичной четырехрядной матрицы (которая подразумевается стоящей в правой стороне перестановочного соотношения (22,1)) равен 4. Поэтому из (22,1), взяв след от обеих сторон равенства, найдем

След произведения четырех матриц

(22,10)

Эту формулу можно получить, например, «протаскивая» в множитель направо с помощью перестановочного соотношения (22,1); после каждой перестановки возникает один из фигурирующих в (22,10) членов:

и т. д. После всех перестановок справа остается — которое переносим налево. Этим же способом вычисление следа произведения шести у сводится к следам произведений четырех множителей и т. д. Так,

Отметим, что все следы вещественны и что они отличны от нуля, лишь если каждая из матриц встречается в произведении четное число раз; то и другое очевидно из полученных формул.

Отсюда, в свою очередь, легко заключить, что след не меняется при изменении порядка всех множителей на обратный:

Как уже упоминалось, множители у фигурируют обычно в виде скалярных произведений с различными 4-векторами. В таких случаях, например, формулы (22,9) и (22,10) означают, что

Особую роль играет произведение Для него принято специальное обозначение:

(22,14)

Легко видеть, что

(22,15)

т. е. матрица антикоммутативна со всеми По отношению же к матрицам имеют место правила

(22,16)

(коммутативность с а следует из того, что есть произведение двух матриц ).

Матрица эрмитова; действительно,

и поскольку последовательность 3210 сводится к последовательности 0123 четным числом перестановок, то

(22,17)

Укажем также вид этой матрицы в двух конкретных представлениях: спинорное

(22,18)

стандартное

След матрицы равен нулю:

(22,19)

(это видно и прямо из (22,18)). Равны нулю также и следы произведений Для произведений же на четыре множителя имеем

(22,20)

Отметим еще формулу:

(22,21)

справедливую для взаимно перпендикулярных 4-векторов а,

В некоторых случаях (в задачах, в которых фигурируют нерелятивистские частицы) может возникнуть необходимость в вычислении следов произведений, в которые входят раздельно и трехмерный «вектор» . Отличны от нуля лишь следы произведений с четным числом множителей и При этом все множители сводятся к 1, а следы произведений с двумя и четырьмя множителями даются формулами