§ 13. Преобразования С, Р, Т

В противоположность 4-инверсии трехмерная (пространственная) инверсия не сводима к каким-либо поворотам 4-системы координат: определитель этого преобразования равен не +1, а -1. Свойства симметрии частиц по отношению к инверсии (Р-преобразование) не предопределяются поэтому соображениями релятивистской инвариантности.

В применении к скалярной волновойчфункции операция инверсии заключается в преобразовании

где знак «+» или «-» в правой стороне отвечает соответственно истинному скаляру или псевдоскаляру.

Отсюда видно, что надо различать два аспекта поведения волновой функции при инверсии. Один из них связан с зависимостью волновой функции от координат. В нерелятивистской квантовой механике рассматривался только этот вопрос, — он приводит к понятию четности состояния (которую мы будем называть теперь орбитальной четностью), характеризующей свойства симметрии движения частицы. Если состояние обладает определенной орбитальной четностью (+1 или —1), то это значит, что

Другой аспект — поведение (при инверсии координатных осей) волновой функции в данной точке (которую удобно представлять себе как начало координат). Оно приводит к понятию внутренней четности частицы. Внутренней четности +1 или —1 отвечают (для частицы со спином 0) два знака в определении (13,1). Полная четность системы частиц дается произведением их внутренних четностей и орбитальной четности относительного движения.

«Внутренние» свойства симметрии различных частиц проявляются, разумеется, лишь в процессах их взаимных превращений. Аналогом внутренней четности в нерелятивистской квантовой механике является четность связанного состояния сложной системы (например, ядра). С точки зрения релятивистской теории, не делающей принципиального различия между составными и элементарными частицами, такая внутренняя четность не отличается от внутренней четности частиц, фигурирующих в нерелятивистской теории в качестве элементарных.

В нерелятивистской области, где последние ведут себя как неизменяемые, их внутренние свойства симметрии не наблюдаемы, и поэтому их рассмотрение было бы лишено физического смысла.

В аппарате вторичного квантования внутренняя четность выражается поведением -операторов при инверсии. Скалярному и псевдоскалярному полям отвечают законы преобразования

Самый же смысл воздействия инверсии на -оператор должен быть сформулирован в виде определенного преобразования операторов уничтожения и рождения частиц такого, чтобы в его результате возникало изменение (13,2). Легко видеть, что таковым является

(и то же самое для сопряженных операторов Действительно, произведя эту замену в операторе:

и переобозначив затем переменную суммирования (), мы приведем его к виду . Таким образом, если обозначить посредством оператор, в котором произведено преобразование (13,3), то можно написать равенство

Отметим, что преобразование (13,3) имеет вполне естественный вид: инверсия меняет знак полярного вектора , так что частицы с импульсом заменяются частицами с импульсом .

В (13,3) операторы преобразуются либо оба с верхними, либо оба с нижними знаками. В аппарате вторичного квантования это является выражением одинаковости внутренних четностей частицы и античастицы (со спином 0). Сама же по себе эта одинаковость очевидна уже из того, что частицы и античастицы (со спином 0) описываются одними и теми же (скалярными или псевдоскалярными) волновыми функциями.

В релятивистской теории возникает также симметрия по отношению к преобразованию, не имеющему аналога в нерелятивистской теории; его называют зарядовым сопряжением (С-преобразование). Если взаимно переставить все операторы

(т. е. взаимно заменить частицы античастицами), то перейдет в «зарядово-сопряженный» оператор причем

Это равенство выражает симметрию, с которой входят в теорию понятия частиц и античастиц.

Отметим, что в определении преобразования зарядового сопряжения содержится некоторый несущественный формальный произвол. Смысл преобразования не изменится, если ввести в определение (13,6) произвольный фазовый множитель:

Тогда было бы

а двукратное повторение этого преобразования по-прежнему приводило бы к тождеству Все такие определения, однако, эквивалентны друг другу. Поскольку свойства -операторов не меняются при умножении на фазовый множитель конец предыдущего параграфа), можно просто переобозначить на после чего вернуться к определению зарядового сопряжения в виде (13,6-7).

Поскольку зарядовое сопряжение заменяет частицу нетождественной ей античастицей, оно не приводит в общем случае к возникновению какой-либо новой характеристики частицы или системы частиц как таковых.

Исключение в этом смысле составляют системы, состоящие из равного числа частиц и античастиц. Оператор С переводит такую систему саму в себя, и потому в этом случае у нее существуют собственные состояния, отвечающие собственным значениям (последние следуют из того, что ). Для описания зарядовой симметрии можно при этом рассматривать частицу и античастицу как два различных «зарядовых состояния» одной и той же частицы, отличающихся значением зарядового квантового числа Волновая функция системы представится как произведение орбитальной и «зарядовой» функции и должна быть симметричной по отношению к одновременной перестановке всех переменных (координатных и зарядовых) любой пары частиц. Симметрия же «зарядовой» функции определит зарядовую четность системы (см. задачу). Понятие зарядовой четности, естественным образом возникающее для «истинно нейтральных» систем, должно относиться и к истинно нейтральным «элементарным» частицам.

В аппарате вторичного квантования это понятие описывается равенством

знаки «+» и «-» отвечают зарядово-четным и зарядово-нечетным частицам.

В § 11 было указано, что релятивистская инвариантность должна означать также и инвариантность по отношению к 4-инверсии. По отношению к оператору скалярного (в смысле 4-поворотов) поля это значит, что при таком преобразовании должно быть:

всегда с одинаковым знаком «+» в правой стороне. В терминах преобразования операторов превращение достигается перестановкой в (13,4) коэффициентов при , т. е. заменой

Заменяя -операторы 6-операторами, это преобразование включает в себя взаимную замену частиц античастицами. Мы видим, что в релятивистской теории естественным образом возникает требование инвариантности по отношению к преобразованию, в котором одновременно с пространственной инверсией (Р) и обращением времени (Т) производится также зарядовое сопряжение (С); это утверждение называют -теоремой.

В этой связи, однако, уместно подчеркнуть, что хотя изложенные здесь и в § 11, 12 рассуждения и представляются естественным развитием понятий обычной квантовой механики и классической теории относительности, но полученные таким путем результаты выходят за их рамки как по форме (-операторы, содержащие одновременно операторы рождения и уничтожения частиц), так и по существу (частицы и античастицы). Эти результаты нельзя поэтому рассматривать как чисто логическую необходимость. Они содержат в себе новые физические принципы, критерием правильности которых может быть лишь опыт.

Если обозначить посредством оператор (13,4), в котором произведено преобразование (13,9), то можно записать:

(13,10)

Сформулировав, таким образом, 4-инверсию как преобразование (13,9), мы тем самым устанавливаем для -оператора также и формулировку преобразования обращения времени: вместе с преобразованием СР (его называют комбинированной инверсией) оно должно давать (13,9).

Учитывая определения (13,3) и (13,6), находим поэтому

(13,11)

(знаки «±» отвечают таким же знакам в (13,3)). Смысл этого преобразования вполне естествен: обращение времени не только переводит движение с импульсом в движение с импульсом , но также и переставляет начальные и конечные состояния в матричных элементах; поэтому операторы уничтожения частиц с импульсами заменяются операторами рождения частиц с импульсами . Произведя в (13,4) замену (13,11) и переобозначив переменную суммирования найдем, что

(13,12)

Это равенство аналогично обычному правилу обращения времени в квантовой механике: если некоторое состояние описывается волновой функцией , то «обращенное по времени» состояние описывается функцией ; переход к комплексно-сопряженной функции связан с необходимостью восстановить нарушенный изменением знака t «правильный» характер зависимости от времени (Е. P. Wigtier, 1932).

Поскольку преобразование (а с ним и СРТ) переставляют начальные и конечные состояния, то для них понятия собственных состояний и собственных значений не имеют смысла. Они не приводят поэтому к новым характеристикам частиц как таковых. О следствиях же, к которым они приводят в применении к процессам рассеяния, будет идти речь в § 69, 71.

Рассмотрим, как меняется при преобразованиях С, Р и Т операторный 4-вектор тока (12,8). Преобразование (13,2) вместе с заменой дает

как и должно быть для истинного 4-вектора. Преобразование (13,7) дало бы просто

если бы операторы были коммутативны.

Некоммутативность этих операторов возникает, однако, только от некоммутативности с одинаковыми ; но в силу правив коммутации (11,4) перестановка этих операторов приводит лишь к появлению членов, не зависящих от чисел заполнения, т. е. от состояния поля. Отбрасывая (как и в (11,5-6)) эти члены, как несущественные, мы вернемся к правилу (13,14), имеющему естественный смысл: заменяя частицы античастицами, зарядовое сопряжение меняет знак всех компонент 4-тока.

Поскольку операция обращения времени связана с транспонированием начальных и конечных состояний, при применении к произведению операторов она меняет порядок множителей. Так,

В данном случае, однако, это обстоятельство несущественно: в силу коммутативности -операторов (в указанном выше смысле) возвращение к исходному порядку множителей не отражается на результате. Заметив также, что при обращении времени найдем правило преобразования тока:

Трехмерный вектор j меняет знак в соответствии с классическим смыслом этой величины.

Наконец, при преобразовании СРТ имеем

(13,16)

в соответствии со смыслом этой операции как 4-инверсии. Подчеркнем в этой связи, что поскольку 4-инверсия сводится к повороту 4-системы координат, по отношению к ней вообще не существует двух типов (истинных и псевдо) 4-тензоров любого ранга.

До сих пор мы подразумевали частицы свободными. Но реальный смысл квантовые числа четности приобретают лишь при рассмотрении взаимодействующих частиц, когда с ними связываются определенные правила отбора, разрешающие или запрещающие те или другие процессы. Такой смысл, однако, могут иметь только сохраняющиеся характеристики — собственные значения операторов, коммутирующих с гамильтонианом взаимодействующих частиц.

В силу релятивистской инвариантности коммутативным с гамильтонианом Должен во всяком случае быть оператор СРТ-преобразования. Что же касается преобразований С и Р (а с ними и Т) по отдельности, то опыт показывает, что электромагнитные и сильные взаимодействия инвариантны по отношению к ним, так что соответствующие квантовые числа четности в этих взаимодействиях сохраняются.

В слабом же взаимодействии эти законы сохранения нарушаются.

Забегая несколько вперед, укажем, что оператор взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем дается произведением операторных 4-векторов А и Поскольку зарядовое сопряжение меняет знак то инвариантность электромагнитного взаимодействия по отношению к этому преобразованию означает, что должен изменяться также и знак А. Другими словами, фотоны — зарядово-нечетные частицы.

Указанное поведение операторов А находится в соответствии со свойствами 4-потенциала в классической теории. Действительно, из преобразований

следует!

что и отвечает классическому правилу преобразования потенциалов электромагнитного поля при обращении времени.

Требование СРТ-инвариантности не накладывает каких-либо ограничений на свойства частиц самих по себе. Оно приводит, однако, к определенной связи между свойствами частиц и античастиц. Сюда относится, прежде всего, равенство масс тех и других, — это ясно уже из изложенной в § 11 связи между 4-инверсией и самим происхождением понятия о частицах и античастицах.

Далее, из СРТ-инвариантности следует, что коэффициенты пропорциональности между векторами электрического и магнитного моментов и вектором спина различаются у частицы и античастицы лишь знаком. Действительно, магнитный момент меняет знак при С- и Т-преобразованиях и (будучи аксиальным вектором) Р-инвариантен. Поэтому преобразование СРТ, превращая частицу в античастицу, в то же время не меняет знак магнитного момента; вектор же спина меняет знак. То же самое относится к электрическому моменту, остающемуся неизменным при обращении времени и меняющему знак при С-преобразовании и (по свойствам полярного вектора) при пространственной инверсии.

Требования же Р- или Т-инвариантности (если таковые соблюдаются) ограничивают свойства уже каждой из частиц: они запрещают существование у частицы электрического дипольного момента. Действительно, единственный вектор, который можно построить для покоящейся элементарной частицы из ее -операторов, — это вектор оператора ее спина. Этот вектор P-четен и Т-нечетен; он может поэтому определять только магнитный, но не электрический момент. Подчеркнем, что для этого запрета достаточно требования уже лишь одной Р- или Т-инвариантности.

Задача

Определить зарядовую и пространственную четности системы, состоящей из частицы со спином 0 и ее античастицы, с орбитальным моментом I относительного движения.

Решение. Перестановка координат частиц эквивалентна инверсии (относительно центра инерции) и поэтому умножает орбитальную функцию на перестановка зарядовых переменных эквивалентна зарядовому сопряжению и умножает «зарядовый» множитель в волновой функции на искомое С. Из условия имеем

Пространственная четность системы Р есть произведение орбитальной четности и внутренних четностей обеих частиц. Поскольку внутренние четности частицы и античастицы одинаковы, то в данном случае Р совпадает с орбитальной четностью: