§ 25. Связь спина со статистикой

Вторичное квантование поля частиц со спином (спинор-ного поля) производится таким же образом, как это было сделано в § 11 для скалярного поля.

Не повторяя заново всех рассуждений, напишем сразу выражения для операторов поля, вполне аналогичные формулам (11,2):

суммирование производится по всем значениям импульса и по Операторы уничтожения античастиц (как и операторы уничтожения частиц ) стоят в виде коэффициентов при функциях, которые по своей координатной зависимости соответствуют состоянию с импульсом

Для вычисления гамильтониана спинорного поля нет необходимости в определении его тензора энергии-импульса (как мы это делали для скалярного поля), поскольку в этом случае существует гамильтониан частицы, с помощью которого может быть записано волновое уравнение (уравнение Дирака) (21,12). Средняя энергия частицы в состоянии с волновой функцией есть интеграл

Обратим внимание на то, что «плотность энергии» (подынтегральное выражение) не является здесь положительно определенной величиной.

Заменяя в (25,2) функции на -операторы, учитывая взаимную ортогональность волновых функций с различными или о, а также соотношение для волновых амплитуд, получаем гамильтониан поля в виде

Отсюда видно, что в данном случае квантование должно производиться по Ферми:

а все другие пары операторов а, антикоммутативны (см. III, § 65).

Действительно, гамильтониан (25,3) переписывается тогда в виде

и собственные значения энергии (как всегда, за вычетом бесконечной аддитивной постоянной):

т. е. оказываются, как и следовало, положительно определенными. При квантовании же по Бозе мы получили бы из (25,3) бессмысленные не положительно определенные собственные значения

Аналогичное (25,5) выражение

получается и для импульса системы — собственных значений оператора

Оператор -тока

и для оператора «заряда» поля получаем

его собственные значения

Таким образом, мы снова приходим к представлению о частицах и античастицах, к которым относится все сказанное по их поводу в § 11.

Но в то время как частицы со спином 0 являются бозонами, частицы со спином 1/2 оказываются фермионами. Если проследить за формальным происхождением этого различия, то мы увидим, что оно возникает в связи с разницей в характере выражений «плотности энергии» для скалярного и спинорного полей. В первом случае это выражение оказывается положительно определенным, в результате чего в гамильтониан (11,3) оба члена входят со знаком плюс.

Для обеспечения положительности собственных значений энергии замена на должна происходить при этом без изменения знака, т. е. по правилу коммутации Бозе. В случае же спинорного поля «плотность энергии» не является положительно определенной величиной, в результате чего в гамильтониане (25,3) член оказывается со знаком минус, и для получения положительных собственных значений замена на должна сопровождаться изменением знака, т. е. происходить по правилу коммутации Ферми.

С другой стороны, вид плотности энергии непосредственно связан с трансформационными свойствами волновой функции и с требованиями релятивистской инвариантности. В этом смысле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих требований.

Из того факта, что частицы со спином являются фермионами, следует также общее утверждение: все частицы с полуцелым спином являются фермионами, а частицы с целым спином — бозонами (в том числе доказанное в § 11 утверждение для частицы со спином 0)

Это становится очевидным, если заметить, что частицу со спином s можно представить себе «составленной» из частиц со спином При полуцелом s число нечетно, а при целом s — четно. Между тем «сложная» частица, содержащая четное число фермионов, является бозоном, а содержащая нечетное число фермионов — фермионом.

Если система состоит из частиц разного рода, то для каждого рода частиц должны быть введены свои операторы рождения и уничтожения. При этом операторы, относящиеся к различным бозонам или же к бозонам и фермионам, коммутируют друг с другом. Что же касается операторов, относящихся к различным фермионам, то в пределах нерелятивистской теории их можно было считать либо коммутирующими, либо антикоммутирующими (III, § 65).

В релятивистской же теории, допускающей взаимные превращения частиц, следует считать операторы рождения и уничтожения различных фермионов антикоммутирующими, так же как и операторы, относящиеся к различным состояниям одних и тех же фермионов.

Задача

Найти лагранжиан спинорного поля.

Решение. Функция Лагранжа, отвечающая уравнению Дирака, дается вещественным скалярным выражением

Понимая под «обобщенными координатами» q компоненты легко убедиться в том, что соответствующие уравнения Лагранжа (10,10) совпадают с уравнениями Дирака для Общий знак лагранжиана (как и общий коэффициент в нем) в данном случае условен. Поскольку L содержит производные от линейно, действие все равно не может иметь ни минимума, ни максимума. Условие определяет в этом случае лишь стационарную точку, но не экстремум интеграла.

Лагранжиан спинорного поля получается заменой в оператором Применив к этому лагранжиану формулу (12,12), получим оператор тока (25,7).