§ 46. Электрическое мультипольное излучение

Вместо того чтобы рассматривать излучение фотона в заданном направлении (т. е. с заданным импульсом), рассмотрим теперь излучение фотона с определенными значениями момента и его проекции m на некоторое избранное направление . Мы видели в § 6, что такие фотоны могут быть двух типов — электрического и магнитного; начнем с излучения фотонов электрического типа. При этом снова будем считать размеры излучающей системы малыми по сравнению с длиной волны.

Вычисления удобно производить с помощью волновых функций фотона в импульсном представлении, т. е. представив -вектор в виде интеграла Фурье. Тогда матричный элемент

(для упрощения записи формул опускаем индексы у волновых функций фотона).

Для -фотона берем волновую функцию из (7,10), выбрав произвольную постоянную С равной

Цель такого выбора состоит в том, чтобы в пространственных компонентах волновой функции сократились члены, содержащие шаровые функции порядка (как это видно из формул (7,16)).

Тогда А будет содержать только шаровые функции порядка , в результате чего соответствующий вклад в окажется (как это будет очевидно из дальнейшего вычисления) более высокого порядка малости (по ), чем вклад от компоненты содержащей шаровые функции более низкого порядка

Таким образом, полагаем

Подставив это выражение в (46,1) и проинтегрировав по получим

Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся разложением (24,12), записав его в виде

где

(см. III (34,3)). Подставив это разложение в (46,2), получим

(остальные члены обращаются в нуль ввиду ортогональности шаровых функций). В силу условия в интеграле по будут играть роль лишь расстояния, для которых . Поэтому можно заменить функции первыми членами их разложений по

В результате получим

где введены величины

(напомним, что ). Величины (46,7) называют Я-польными электрическими моментами перехода системы по аналогии с соответствующими классическими величинами (II. § 41).

Для электрона во внешнем поле тогда величины (46,7) вычисляются как матричные элементы от классической величины

В нерелятивистском (по скоростям частиц) случае момент перехода может быть в принципе вычислен аналогичным образом для любой системы N взаимодействующих частиц. При этом плотность перехода выражается через волновые функции системы в виде

где интеграл берется по всему конфигурационному пространству.

Использованная нами волновая функция фотона соответствует (в координатном представлении) нормировке на -функцию по шкале , как и предполагается в формуле (44,2). Подставив в нее (46,6), получим вероятность -излучения

В частности, при имеем

Величины связаны с компонентами вектора электрического дипольного момента формулами

(46,11)

Просуммировав (46,10) по значениям , мы вернемся, как и следовало, к уже известной нам формуле (45,7) для полной вероятности дипольного излучения.

Угловое распределение мультипольного излучения определяется формулой (7,11). Нормируя ее на полную вероятность пускания имеем

В частности, для

где — полярный угол и азимут направления относительно оси . Вычисляя градиент, найдем, что угловое распределение дипольного излучения с определенными значениями дается выражениями

(46,13)

Их можно было бы, разумеется, получить и из формулы (45,6), положив в ней один раз (для ): другой раз .

Если порядок величины размеров системы (атома или ядра) есть а, то порядок величины электрических мультипольных моментов есть, вообще говоря, Вероятность же мультипольного излучения

(46,14)

Увеличение степени мультипольности на 1 уменьшает вероятность излучения в отношении .

Законы сохранения момента в четности приводят к определенным правилам отбора, ограничивающим возможные изменения состояния излучающей системы.

Если начальный момент системы равен то после излучения фотона с моментом момент системы может принимать лишь значения определяющиеся правилом сложения моментов

(46,15)

При заданных значениях h и тем же правилом (46,15) определяются возможные значения момента фотона Но поскольку вероятность излучения быстро убывает с увеличением то излучение происходит в основном с наименьшей возможной мультипольностью.

Проекции моментов вместе с проекцией момента фотона удовлетворяют очевидному (из того же закона сложения моментов) правилу

(46,16)

Четности начального и конечного состояний излучающей системы должны удовлетворять условию где — четность излученного фотона; поскольку четности могут иметь лишь значения ±1, это условие можно записать также в виде

(46,17)

Для фотона электрического типа так что правило отбора по четности для электрического мультипольного излучения:

(46,18)

Правила отбора по полному моменту и по четности являются вполне строгими и должны соблюдаться при излучении любыми системами. Наряду с этими правилами могут существовать и другие, более жесткие, связанные с теми или иными особенностями структуры конкретных излучающих систем. Такие правила неизбежно имеют лишь более или менее приближенный характер; мы рассмотрим их в дальнейших параграфах этой главы.

Зависимость вероятности испускания от квантовых чисел , всецело определяется тензорным характером мультипольных моментов. Величины с заданным составляют сферический тензор ранга Зависимость его матричных элементов от указанных квантовых чисел дается формулой

(46,19)

(см. III (107,6)), где буква n условно обозначает совокупность остальных, помимо и М, квантовых чисел состояния системы. Стоящие в правой стороне равенства (46,19) приведенные матричные элементы от чисел не зависят.

Подставленная в (46,9) эта формула и определит искомую зависимость, которая оказывается пропорциональной

(при этом предполагается, конечно, что излучатель не находится во внешнем поле; тогда частота перехода со не зависит от чисел ).

Просуммировав вероятность по всем значениям М; (при заданном ), мы получим полную вероятность испускания фотона данной частоты с начального уровня системы В силу изотропии пространства очевидно, что эта величина не будет зависеть также и от начального значения Суммирование осуществляется с помощью формулы

(46.20)

(см. III (107,11)).