§ 97. Тормозное излучение электрона на электроне в ультрарелятивистском случае

Тормозное излучение электрона на электроне изображается восемью диаграммами Фейнмана: четырьмя диаграммами

(97,1а)

и четырьмя «обменными» диаграммами, получающимися из изображенных перестановкой . Мы приведем здесь результаты вычислений для ультрарелятивистского случая (G.Altarelli, F. Buccella, 1964; В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1966)).

В лабораторной системе отсчета (система покоя одного из начальных электронов, — скажем, второго) интегральное по направлениям фотона сечение излучения может быть представлено в виде суммы , где

( - начальная энергия первого электрона).

Точность этих формул — до членов относительного порядка . С этой точностью оказывается, что вклады в сечение от различных диаграмм не интерферируют друг с другом, и в этом смысле отвечают излучению каждым из двух электронов соответственно быстрым электроном и электроном отдачи (диаграммы (97,1а) и (97,16)).

Диаграммы обменного типа дают такой же вклад в сечение, как и диаграммы «прямые». В силу тождественности электронов суммарный вклад прямых и обменных диаграмм следует разделить на 2; поэтому можно рассматривать только вклад прямых диаграмм и не учитывать тождественности частиц. Для столкновения же электрона с позитроном вместо обменных фигурируют аннигиляционные диаграммы. Их вклад, однако, оказывается относительного порядка т. е. пренебрежим. Поэтому с указанной точностью сечения тормозного излучения при столкновениях электрона с электроном и с позитроном одинаковы.

При ототношение

т. е. излучение электроном отдачи мало по сравнению с излучением быстрым электроном (когда это отношение достигает порядка формула (97,3), разумеется, теряет смысл). Напротив, при обе части сечения почти сравниваются;

Для справедливости формул необходимо, чтобы хоть один из электронов после излучения оставался ультрарелятивистским. Другими словами, частота фотона должна быть достаточно далека от жесткой границы спектра, т. е. от максимальной частоты которая может быть излучена. Конечная энергия электронов будет минимальна, а энергия фотона максимальна, когда оба электрона движутся после излучения в направлении фотона и имеют одинаковые скорости. Тогда из законов сохранения имеем

Исключив отсюда , получим

откуда

При имеем . Таким образом, формулы (97,2-4) справедливы при условии

Сечеиие излучения быстрым электроном (97,2) в точности совпадает с сечением излучения электрона на ядре с (формула (93,17)). Это совпадение не случайно, и его причины выясняются из анализа роли отдачи в процессе излучения.

При выводе формулы (93,17) мы пренебрегли отдачей неподвижной частицы (-изменили ее постоянным внешним полем. Это сводится к пренебрежению временной компонентой 4-вектора передачи импульса (энергией отдачи). Покажем, что в ультрарелятивистском случае такое пренебрежение допустимо при излучении электроном не только на ядре, но и электроне.

Напишем в виде

где нижние индексы указывают компоненты векторов (начальный и конечный импульсы электрона), параллельные и перпендикулярные направлению фотона к. В ультрарелятивистском случае углы (между к и соответственно ) малы: Поэтому

и аналогично для .

Без учета отдачи имеем разность так что

(97,10)

Энергия отдачи (на электроне):

(97,11)

Изменением же из-за изменения можно пренебречь. Поэтому первые два члена в (97,8) дают изменение при учете отдачи; обозначим его

Используя (97,9), получаем

Сравнив с (97,10), мы увидим, что чем и оправдывается пренебрежение отдачей.

Тот факт, что быстрая частица излучает в узкий конус (с углом раствора ) в направлении своего движения, позволяет получить сечение излучения в системе центра инерции путем простого пересчета сечения (97,2) из лабораторной системы.

В системе центра инерции оба электрона излучают одинаково, каждый в направлении своего движения (это обстоятельство наглядно объясняет причину отсутствия интерференции между излучениями обеих частиц). Энергия ультрарелитивистского электрона в системе центра инерции связана с его энергией в лабораторной системе соотношением а частоты и фотона в этих системах — соотношением (эти равенства легко получить, сравнивая значения инвариантов ) в обеих системах). Поэтому для сечения излучения каждым из электронов в системе центра инерции находим

(97,12)

Для применимости (97,12) также необходимо, чтобы частота фотона не была близка к границе спектра. Для ультрарелятивистской частицы указанное выше преобразование прямо дает

(97,13)

Таким образом, в системе центра инерции электроны могут излучить лишь половину своей полной энергии Прямое вычисление легко произвести, заметив, что после излучения такого фотона электроны будут двигаться (в той же системе) с одинаковыми скоростями в направлении, обратном направлению фотона. Имеем

откуда

(97,14)

и в ультрарелятивистском случае снова получаем (97,13). Таким образом, формула (97,12) применима при условии

(97,15)

Приведем теперь формулы для излучения в системе центра инерции в обратном предельном случае, вблизи границы спектра, когда

Поскольку в этом случае отдача весьма существенна, результаты отличаются от случая рассеяния на неподвижном центре и оказываются различными для электрон-электронного и электрон-позитронного рассеяния (В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Козе, 1967).

В случае рассеяния электрона на электроне, кроме квадратов диаграмм (97,1), вклад в сечение излучения вблизи границы спектра дают также произведения (интерференционные члены) прямых и обменных диаграмм, в которых излучает одна и та же начальная частица, например произведение второй из диаграмм (97,1а) и диаграммы

Это связано с тем, что вблизи границы конечные частицы имеют близкие импульсы и нет причин для малости обменных членов. Окончательный ответ для сечения:

(97,17)

При рассеянии электрона на позитроне логарифмически большой вклад в сечение излучения вносят квадраты аннигиляционных диаграмм, в которых излучают начальные частицы:

(97,18)

С нелогарифмической точностью существенны также и квадраты других диаграмм. Интерференционные же члены малы. Окончательный ответ:

Таким образом, излучение при электрон-позитронном рассеянии логарифмически велико по сравнению с излучением при электрон-электронном рассеянии.