§ 26. Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени

Множители стоящие в (25,1) при операторах а представляют собой волновые функции свободных частиц (будем говорить «электронов») с импульсами и поляризациями а:

Множители же при операторах надо рассматривать как волновые функции позитронов с теми же При этом, однако, окажется, что электронные и позитронные функции выражены в различных биспинорных представлениях. Это ясно из того, что различны по своим трансформационным свойствам их компоненты удовлетворяют различным системам уравнений. Для устранения этого недостатка надо произвести определенное унитарное преобразование компонент — такое, чтобы новая четырехкомпонентная функция удовлетворяла тому же уравнению, что и .

Именно такую функцию мы и будем называть волновой функцией позитрона (с импульсом и поляризацией а). Обозначив матрицу требуемого унитарного преобразования напишем

Операция С, с помощью которой эта функция образуется из , называется зарядовым сопряжением волновой функции (Н. A. Kramers, 1937). Это понятие не ограничено, конечно, его применением к плоским волнам. Для всякой вообще функции существует «зарядово-сопряженная» функция

преобразующаяся, как и удовлетворяющая тому же уравнению.

Свойства матрицы следуют из этого определения. Если решение уравнения Дирака , то удовлетворяет уравнению

Умножив это уравнение слева на

потребуем, чтобы функция удовлетворяла тому же уравнению, что и

Сравнив оба уравнения, найдем следующее «соотношение коммутации» между и матрицами

Будем предполагать далее, что волновые функции заданы в спинорном или стандартном представлении (к общему случаю произвольного представления мы вернемся лишь в конце этого параграфа). В этих представлениях

Тогда условиям (26,3) удовлетворяет матрица с произвольной постоянной . Из требования следует, что так что матрица определена с точностью до фазового множителя. В дальнейшем мы выберем так что

Заметив также, что можно записать действие оператора С в следующем виде:

В явном виде преобразование (26,6) для спинорного представления

или, что то же,

(26,76)

Преобразование зарядового сопряжения для плоских волн легко произвести, воспользовавшись их явными выражениями (23,9) и матрицей в стандартном представлении:

Заметив, что

при определении согласно (23,16) получим

Таким образом,

(26,10)

так что функции фигурирующие в -операторах (25,1) вместе с операторами , действительно отвечают состояниям частицы с импульсом и поляризацией . Мы видим также, что электронные и позитронные состояния описываются одними и теми же функциями:

Это вполне естественно, так как функции несут в себе сведения лишь об импульсе и поляризации частицы.

Аналогичным образом можно рассмотреть операцию обращения времени. Изменение знака времени должно сопровождаться комплексным сопряжением волновой функции. Для того чтобы получить в результате «обращенную по времени» волновую функцию в том же представлении, что и исходная надо еще произвести над компонентами некоторое унитарное преобразование. Таким образом, аналогично (26,2) представим действие оператора Т на в виде

(26,11)

где — унитарная матрица.

Снова пишем уравнение Дирака, которому удовлетворяет

и уравнение для

Заменим в последнем уравнении и умножим его слева на

Мы хотим, чтобы функция удовлетворяла тому же уравнению, что и

Сравнив оба уравнения, найдем, что матрица должна удовлетворять условиям

(26,12)

В спинорном и стандартном представлениях этим условиям удовлетворяет матрица

(26,13)

Таким образом, действие оператора Т дается формулой

(26,14)

В явном виде это преобразование для спинорного представления

(26,15а)

или

(26,15б)

В стандартном представлении

(26,16)

Найдем результат воздействия на всех трех операций Р, Т и С. Для этого пишем последовательно:

или

(26,17)

В спинорном представлении

(26,18)

в чем легко убедиться и прямо из правил преобразований (20,4), (26,7).

Написанные выше выражения для матриц предполагали спинорное или стандартное представление . Выясним, наконец, какие из свойств этих выражений сохраняются для произвольного представления

Если подвергается унитарному преобразованию:

то в новом представлении

Сравнивая с определением матрицы в новом представлении , находим

(26,20)

Преобразование (26,20) совпадает с преобразованием матриц у лишь для вещественных U. Поэтому и выражение (26,5) справедливо лишь в представлениях, получающихся из спинорного или стандартного вещественным преобразованием.

Матрица (26,5) унитарна, а транспонирование меняет ее знак:

(26,21)

Эти свойства инвариантны относительно преобразования (26,20), а следовательно, имеют место в любом представлении. Матрица (26,5) также и эрмитова но это свойство в общем случае нарушается преобразованием (26,20).

Все сказанное (в том числе (26,21)) относится и к свойствам матрицы

В аппарате вторичного квантования преобразования С, Р, Т для -операторов должны быть сформулированы как правила преобразований операторов рождения и уничтожения частиц.

Эти правила можно установить (подобно тому, как это было сделано в § 13 для частиц со спином 0), исходя из требования, чтобы преобразованные -операторы могли быть представлены в виде

(26,22)

Задача

Найти оператор зарядового сопряжения в представлении Майораны (см. задачу 2, § 21).

Решение. Матрица в представлении Майораны получается из матрицы в стандартном представлении преобразованием (26,20)

и равна ( обозначают матрицы стандартного представления). Обозначая штрихом величины в представлении Майораны, имеем и поскольку — то

т. е. зарядовое сопряжение эквивалентно комплексному сопряжению.