§ 117. Вычисление формфакторов электрона

Обратимся к фактическому вычислению формфакторов электрона (J. Schwinger, 1949).

В нулевом приближении теории возмущений вершинный оператор т. е. электронные формфакторы

Первая радиационная поправка к формфакторам определяется вершинной диаграммой

(с двумя реальными электронными концами и одним виртуальным фотонным концом). Мы начнем с вычисления мнимых частей формфакторов. Как было показано в предыдущем параграфе, они отличны от нуля лишь в аннигиляционном канале в соответствии с этим 4-импульсы электронных концов в диаграмме (117,1) отвечают рождающимся электрону и позитрону и обозначены Аналитическое выражение диаграммы (117,1):

или, в раскрытом виде,

где обозначено

и для краткости опущены множители везде ниже подразумевается, что обе стороны равенства берутся в этих «обкладках».

Проведенный на диаграмме (117,1) горизонтальный пунктир рассекает ее на две части таким образом, чтобы показать промежуточное состояние, которое фигурировало бы при вычислении мнимой части формфактора по условию унитарности: это есть состояние электрон-позитронной пары с импульсами, отличными от Это же рассечение показывает, где в интеграле (117,2) должна быть произведена замена полюсных множителей, если производить вычисление по правилу (115,9) (в (117,3) эти множители выделены в подынтегральном выражении).

Интеграл в ( - того же вида, что и в (115,2). Поэтому мы можем сразу написать результат преобразования в форме (115,10), минуя промежуточные этапы:

(117,5)

где интегрирование производится по направлению вектора 4-векторы в определении функции (117,4) становятся 4-импульсами реальных (а не виртуальных) частиц. Выражение (117,5) относится к системе отсчета, в которой это — система центра инерции рождающейся пары (а тем самым — и «промежуточной» пары В этой системе, следовательно,

и легко проверить, что

(117,6)

где — угол между (причем ).

Подставив теперь (117,4) в (117,5) и исключив в подынтегральном выражении матрицы с помощью формул (22,6), получим

где введены 4-векторы

(117,8)

Интегрирование сводится теперь к вычислению интегралов

с каждым из трех перечисленных числителей.

Интеграл I логарифмически расходится при . Переписывая его как

мы видим, что расходимость отвечает малым «массам» виртуального фотона. Таким образом, это — «инфракрасная» расходимость. Мы отложим ее подробное рассмотрение до § 122. Здесь отметим только, что она фиктивна в том смысле, что при правильном учете всех физических эффектов подобные расходимости взаимно компенсируются и исчезают. Поэтому мы можем произвольным образом «обрезать» интеграл снизу, а в дальнейшем, при расчете реальных физических явлений, устремить предел обрезания к нулю.

Здесь будет проще всего совершать обрезание релятивистски инвариантным образом. Для этого припишем виртуальному фотону f малую, но конечную массу ), т. е. заменим в фотонном пропагаторе в (117,2)

(117,10)

После этого

Интеграл в котором — пространственноподобный -вектор, должен выражаться через -вектор — из двух имею щихся в нашем распоряжении 4-векторов пространственноподобен (при произвольных ) только Р.

Поэтому Умножив это равенство на и вычислив интеграл в системе центра инерции пары (компоненты -векторов — из (117,8)), найдем

Таким образом,

(117,12)

Аналогичным образом вычисляется интеграл

(117,13)

(для определения коэффициентов в этом выражении достаточно вычислить интегралы ).

Дальнейшее вычисление происходит следующим образом. Подставив (117,11 —13) в (117,7), мы получим между «обкладками» сумму ряда членов. В каждом из них «прогоним» (с помощью правил коммутации матриц -у) множитель направо, а -налево; после этого можно заменить поскольку

В получающейся в результате сумме

можно еще заменить эквивалентным ему (в обкладках!) выражением

(ср. (116,5)). Наконец, выразив все величины через инвариант и сравнив затем обе стороны равенства (117,7), получим следующие формулы для мнимых частей формфакторов:

(117,15)

Инфракрасная расходимость имеется только в

Сами функции вычисляются по их мнимым частям с помощью формул (116,11-12). Интегрирование в этих формулах удобно произвести с помощью тех же подстановок, которые были использованы в § 113 при вычислении Выраженные через переменную (113,11) формфакторы определяются формулами

(117,16)

где — функция Спенса, определенная согласно (131,19).

В нефизической области надо положить Тогда выражения для формфакторов могут быть приведены к виду

(117,18)

Наконец, выпишем предельные формулы для малых

(117,20)

и для больших

(117,22)

Формула (117,21) справедлива (в отношении ), как говорят, с дважды логарифмической точностью, т. е. с точностью до квадратов больших логарифмов.