§ 121. Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борновсиом приближении

В первых двух приближениях по внешнему полю рассеяние электрона изображается диаграммами

(121,1)

Первой из них отвечает амплитуда рассмотренная в § 80. Амплитуда же второго приближения

Легко видеть, что члены такого же порядка возникают и от радиационных поправок. В третьем порядке теории возмущений радиационные поправки к амплитуде рассеяния изображаются диаграммами

При этом и если то Согласно (64,26) сечение рассеяния

(121,3)

В стоящем здесь квадрате амплитуды мы имеем право сохранить, наряду с также и интерференционные члены между и между Таким образом, с точностью до членов сечение представится суммой

(121,4)

где сечение в первом борновском приближении (см. § 80), а поправки к нему

Напомним (см. § 80), что

(121,6)

где - компонента Фурье скалярного потенциала постоянного внешнего поля и учтено, что заряд электрона

Два выражения (121,5) могут, очевидно, вычисляться независимо. Первое будет рассмотрено в этом, а второе — в следующем параграфе.

Амплитуда второго приближения, построенная по диаграмме (121,1). дается интегралом

(121,7)

«4-импульсы» внешнего постоянного поля имеют временных компонент. Поэтому

(121,8)

где — начальная и конечная энергии электрона, совпадающие друг с другом при упругом рассеянии.

В чисто кулоновом поле неподвижного заряда

Для такого потенциала интеграл (121,7) логарифмически расходится (при ). Эта расходимость специфична для кулонова поля и связана с медленностью его убывания на больших расстояниях. Ее происхождение легче всего уяснить на примере нерелятивистского случая. Согласно III (135,8) коэффициент при сферической волне в асимптотическом выражении волновой функции электрона в кулоновом поле имеет вид

Но этот коэффициент и является амплитудой рассеяния электрона в поле, и мы видим, что ее фаза содержит расходящийся (при ) член. При разложении амплитуды рассеяния по степеням этот член приведет к расходимости всех членов разложения, начиная со второго (так как сама функция ) пропорциональна Ситуация в релятивистском случае имеет, разумеется, аналогичный характер.

Эти рассуждения показывают в то же время, что расходящиеся члены должны сократиться при вычислении сечения рассеяния, в котором фаза амплитуды несущественна. Простейший путь корректного проведения вычислений состоит в том, чтобы рассмотреть сначала рассеяние в экранированном кулоновом поле, т. е. положить

(121,9)

с малой константой экранирования . Тем самым устраняется расходимость в амплитуде рассеяния, а в окончательном ответе для сечения уже можно положить

Подставив (121,9) в (121,7), получим

где введены обозначения;

Здесь и интеграл j симметричен по отношению к ; из соображений векторной симметрии очевидно, что вектор J должен быть направлен вдоль . Исключив теперь матрицы с помощью равенств

получим

(121,11)

Для проведения дальнейших вычислений перейдем (как и в § 80) от биспинорных амплитуд к соответствующим им (согласно (23,9) и (23,11)) 3-спинорам w и w'. Прямым перемножением находим

где

После этого амплитуда (121,11) представится в виде

(121,12)

Амплитуда же рассеяния первого приближения в аналогичных обозначениях имеет вид

(121,13)

где

Сечение рассеяния и поляризационные эффекты выражаются через величины формулами, полученными в III, § 140. Так, сечение рассеяния неполяризованных электронов:

После подстановки простое вычисление дает

(121,14)

где скорость электрона, — угол рассеяния.

В результате рассеяния электроны поляризуются, вектор поляризации конечных электронов

или, после подстановки (121,12-13),

(121,10)

Перейдем к вычислению интегралов Оно облегчается применением метода параметризации по формуле (131,2). Интеграл принимает вид

Интегрирование по устраняет -функцию; приведя подобные члены в знaмeнaтeлe получим

Введя вместо f новую переменную сведем интегрирование по к интегралу вида

так что

Вместо вводим симметричные комбинации: Интегрирование по (в пределах от 0 до ) элементарно и дает

где

Для вычисления интеграла по х при разбиваем область интегрирования на две части:

В первом интеграле можно положить тогда

Во втором же интеграле можно положить везде, - кроме члена а также положить в первых скобках знаменателя. Тогда

При сложении обоих интегралов величина как и следовало ожидать, выпадает, и получается

Интеграл вычисляется аналогичным образом и равен

(121,17)

Остается подставить эти выражения в и мы получим окончательные результаты:

(121,18)

В первом борновском приближении сечения рассеяния электрона и позитрона (в одном и том же внешнем поле) одинаковы. Во втором приближении эта симметрия исчезает. Для рассеяния позитрона (заряд ) амплитуда первого приближения (121,6) имеет обратный знак, знак же не меняется. Поэтому сечение представляющее собой интерференционный член между и , изменит знак. То же самое произойдет и с выражением (121,19) для вектора поляризации. Вообще, переход от формул для рассеяния электрона к формулам для рассеяния позитрона можно произвести формальной заменой