§ 90. Магнитотормозное излучение

Согласно классической теории (см. II, § 74) ультрарелятивистский электрон, движущийся в постоянном магнитном поле Н, излучает квазинепрерывный спектр с максимумом, приходящимся на частоту

где

- частота обращения электрона с энергией по круговой орбите (в плоскости, перпендикулярной полю). Будем считать, что продольная (вдоль Н) составляющая скорости электрона равна нулю; этого всегда можно добиться надлежащим выбором системы отсчета.

Квантовые эффекты в магнитотормозном излучении имеют двоякое происхождение: квантование движения электрона и квантовая отдача при испускании фотона. Последняя определяется отношением и условие применимости классической теории требует его малости. В этой связи удобно ввести параметр

где . В классической области . В случае энергия излученного фотона , причем при (как мы увидим в дальнейшем) существенная область спектра простирается до частот, при которых энергия электрона после испускания

Для того чтобы электрон оставался ультрарелятивистским, поле должно удовлетворять условию

Что касается квантования самого движения электрона, то оно характеризуется отношением есть расстояние между соседними уровнями энергии при движении в магнитном поле. Поскольку

ввиду (90,5) заведомо т. е. движение электрона квазиклассично вне зависимости от значения Другими словами, можно пренебречь некоммутативностью операторов динамических переменных электрона друг с другом (величины ), учитывая в то же время их кекоммутативноеть с операторами фотонного поля (величины ).

Квазиклаееические волновые функции стационарных состояний электрона во внешнем поле могут быть представлены в символическом виде

где - квазиклассические волновые функции бесспиновой частицы — ее классическое действие; — операторный биспинор

получающийся из биспинорной амплитуды плоской волны (23,9) заменой операторами

Р — обобщенный импульс частицы в поле с векторным потенциалом ; порядок, в котором стоят операторные множители в несуществен, поскольку их некоммутативностыо мы пренебрегаем; спиновое состояние электрона определяется 3-спинором w.

Для вычисления вероятности излучения фотона в квазиклассическом случае удобнее исходить не из окончательной формулы теории возмущений (44,3), а из формулы, в которой еще не произведено интегрирование по времени. Для полной (за все время) дифференциальной вероятности имеем

(ср. III (41,2)); суммирование производится по конечным состояниям электрона.

Использовав (90,6), запишем матричный элемент для испускания фотона к в операторном виде

где в квадратных скобках операторы действуют налево; поле фотона выбрано в трехмерно поперечной калибровке. Множители превращают стоящие между ними шредингеровские операторы в зависящие явно от времени операторы гейзенберговского представления. Запишем в виде

где обозначает гейзенберговский оператор

а матричный элемент берется по отношению к функциям .

Суммирование в (90,7) производится по всем конечным волновым функциям оно осуществляется с помощью равенства

выражающего полноту системы функций В результате получим

Если интегрирование производится по достаточно большому промежутку времени, можно ввести вместо новые переменные

и в интеграле по рассматривать подынтегральное выражение как вероятность испускания в единицу времени. Умножив ее на получим интенсивность

(90,10)

Ультрарелятивистский электрон излучает в узкий конус под углами относительно его скорости v. Поэтому излучение в заданном направлении формируется на участке траектории, на котором v поворачивается на угол Этот участок проходится за время такое, что . Именно эта область даст основной вклад в интеграл по т. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем систематически разлагать все величины по степеням При этом, однако, может оказаться необходимым сохранять более чем один старший член разложения ввиду сокращений, происходящих из-за того, что .

Если привести оператор к виду произведения коммутативных (с требуемой точностью) операторов, то взятие диагонального матричного элемента сведется к замене этих операторов классическими значениями (функциями времени) соответствующих величин. Эта цель достигается следующим образом.

Согласно сказанному выше, в выражении для надо учитывать некоммутативность электронных операторов лишь с оператором связанным с фотонным полем. Имеем

(90,11)

Эти формулы — следствие того, что есть оператор сдвига в импульсном пространстве. С помощью (90,11) выносим в (90,8) оператор налево и записываем в виде

(90,12)

где

Теперь

(90,13)

(здесь и ниже индексы 1 и 2 отмечают значения величины в моменты времени ). Остается вычислить произведение двух некоммутативных операторов . Само это произведение уже можно считать коммутативным с остальными множителями.

Обозначим

(90,14)

именно эта комбинация операторов входит в (90,10).

По смыслу оператора как оператора сдвига по времени имеем

Подставив это выражение в (90,14) и учтя, что есть оператор сдвига в импульсном пространстве, преобразуем L к виду

(90,15)

Продифференцировав (90,15) по и снова использовав свойства оператора сдвига по времени, запишем

(90,16)

После того как некоимутативиость операторов таким образом использована, можно заменить все операторы соответствующими классическими величинами (в том числе гамильтониан Я энергией электрона ). Имеем тождественно

Разность

мала, поскольку, согласно сказанному выше, . С точностью до первого порядка по этой разности имеем

где . Из (90,16) находим теперь дифференциальное уравнение для функции :

Это уравнение должно решаться с очевидным начальным условием . Заметив, что

получим

(90,18)

До сих пор мы не использовали конкретного вида траектории электрона. Выразим теперь в (90,18) через с помощью уравнения движения электрона в плоскости, перпендикулярной полю Н (см. II, § 21):

Разлагая по степеням , имеем отсюда

(в последнем члене положено

Преобразуем остальные множители в (90,13). Прямым раскрытием произведения в (с матрицей а из (21,20)) на ходим

(90,20)

где опущены члены высших порядков по Таким образом, окончательно имеем

Множители двухрядные поляризационные матрицы плотности начального и конечного электронов.

Рассмотрим интенсивность излучения, просуммированную по поляризациям фотона и конечного электрона и усредненную по поляризациям начального электрона.

В результате указанных операций получим после простого вычисления

С требуемой точностью

Подставив эти выражения в (90,21), а затем в (90,10), получим

(90,22)

Эта формула дает спектральное и угловое распределение интенсивности излучения.

Для нахождения спектрального распределения произведем интегрирование по Выбирая направление v в качестве полярной оси с углом между и V, имеем

и интеграл

При подстановке этого выражения в (90,22) мы получим два члена, показатели экспонент которых имеют разный порядок величины. Показатель экспоненты второго члена оказывается гораздо большим, поскольку содержит множитель вместо малого множителя в первом члене. Сместив контур интегрирования по в нижнюю полуплоскость комплексного переменного , можно сделать второй член малым и пренебречь им.

После этого можно снова совместить контур интегрирования с вещественной осью. Из вывода видно, сднако, что имеющийся теперь полюс в подынтегральном выражении при должен обходиться снизу. Таким образом,

причем контур интегрирования выбирается указанным выше способом. Используя интегральное представление функции Эйри Ф (см. III, § b), нетрудно показать, что первый член сводится к интегралу от функции Эйри, а второй — к производной от нее. Окончательно находим

(90,23)

(А. И. Никишов, В. И. Ритус, 1967). Максимум в частотном распределении лежит при ; при отсюда следует (90,1), а при (90,4). В классическом предельном случае имеем , так что второй член в круглых скобках мал и (90,23) переходит в классическую формулу II (74,13).

На рис. 15 изображены графики спектрального распределения при различных значениях Отложена величина

как функция отношения , где

Величина есть классическая полная интенсивность излучения (ср. II (74,2)).

Для вычисления полной интенсивности излучения выражение (90,23) надо проинтегрировать по от 0 до . Перейдем к интегрированию по заметив, что

а следовательно, меняется от 0 до

Произведя в первом члене в (90,23) дважды интегрирование по частям, получим

На рис. 16 изображен график функции

Рис. 15

При в интеграле существенна область подынтегральное выражение по и интегрируя это разложение с помощью формулы

получаем

(90,26)

При в интеграле щественна область, в которой . В первом приближении можно поэтому заменить на после чего интегрирование дает

(90,27)

Рис. 16

Магнитотормозное излучение приводит к возникновению поляризации движущихся электронов (А. А. Соколов, И. М. Тернов, 1963). Для рассмотрения этого вопроса надо найти вероятность радиационного перехода с обращением направления спина.

Положив в (93,21) , получим

Суммирование по поляризациям фотона дает после простых преобразований

(90,28)

Будем предполагать, что и будем искать лишь главный член разложения вероятности по степеням h. Поскольку выражение (90,28) (с В из (90,20)) уже содержит все остающиеся (в том числе в показателе экспоненты в (90,18)) величины можно заменить на .

Разложив

н подставив (90,28) в (90,21) и затем в (90,10), найдем дифференциальную вероятность перехода в единицу времени Она интегрируется с помощью формулы

где в данном случае

Вычисление приводит к результату

где сделана замена: , а контур интегрирования по z проходит ниже вещественной оси и замыкается нижней полуплоскости.

Выполнив это последнее интегрирование, получим окончательно полную вероятность радиационного перехода с обращением спина:

где Эта формула пригодна как для электронов так и для позитронов (е > 0).

Вероятность (90,30) не зависит от знака продольной поляризации но зависит от знака Поэтому и возникающая в результате излучения поляризация поперечна). Для электронов вероятность перехода из состояния со спином «по полю» в состоянии со спином «против поля» больше вероятности обратного перехода. Поэтому радиационная поляризация электронов направлена против поля, а ее степень в стационарном состоянии равна (при )

Позитроны поляризуются (с такой же степенью) в направлении по полю.