§ 95. Точная теория рождения пар в ультрарелятивистском случае

В двух предыдущих параграфах тормозное излучение и рождение пар фотоном в релятивистской области были изучены на основе борновского приближения, для чего во всяком случае требовалось выполнение условия . В § 95, 96 излагается теория этих процессов, свободная от указанного ограничения, т. е. справедливая и при (Я. A. Bethe, L. Maximon, 1954). При этом предполагается, что обе частицы (начальный и конечный электрон или компоненты пары) ультрарелятивистские; их энергия 8 т.

Мы видели, что в ультрарелятивистском случае частицы летят под малыми углами или к направлению фотона: . Такое свойство сохраняется и в точной (по ) теории, и мы будем рассматривать именно эту область углов.

Передача импульса ядру в этой области: . Это значит, что в волновых функциях существенны прицельные параметры т. е. «большие» расстояния.

На таких расстояниях можно пользоваться волновой функцией, полученной в § 39. Изложим соответствующие вычисления для рождения пар.

Сечение рождения пары имеет вид, аналогичный сечению фотоэффекта (ср. (56,1-2)):

где

Здесь — волновая функция электрона, а — волновая функция с отрицательной энергией и импульсом

Функция же относящаяся к частице в конечном состоянии, должна содержать в своей асимптотике (наряду с плоской волной) сходящуюся сферическую волну; обстоятельство отмечено верхним индексом у функции. Согласно (39,10) такая волнозая функция

Функция же должна содержать в своей асимптотике расходящуюся сферическую волну (индекс ) сверху), поскольку по смыслу она является волновой функцией «начального состояния с отрицательной энергией». Волновая функция позитрона (образуемая из ) окажется при этом со сходящейся волной в асимптотике, как и требуется для конечной частицы. Согласно (39,11) такая функция

Отметим, что необходимость учета членов в (95,3-4) связана с матричной структурой (95,2). Матричный элемент есть вектор с направлением, близким к к.

Поэтому основной член в оказывается малым, а поправочные члены — одного порядка величины с ним.

Подставляя (95,3-4) в (95,2) и пренебрегая членами находим

где

обозначают для краткости гипергеометрические функции, входящие в (95,3) и (95,4)). Сразу же отметим, что интегралы связаны одним тождеством: из

имеем

Квадрат усредняем по поляризациям падающего фотона и суммируем по направлениям спинов электрона и позитрона. Это осуществляется заменой тензора:

и биспинорных произведений:

Заменив также найдем

Выпишем сразу результат, получающийся после надлежащих пренебрежений, для интересующего нас ультрарелятивистского случая в области малых углов

Введем вспомогательные векторы:

(95,10)

(индекс L означает составляющую, перпендикулярную направлению к). С их помощью ответ записывается в виде

(95.11)

Здесь учтено, что (как это видно из (95,8)), и опущены члены более высокого порядка по

Интегралы можно представить в виде

(95.12)

Интеграл выражается через полную гипергеометрическую функцию

Дифференцирование по должно производиться при заданном параметре q, и лишь затем можно положить Приведем результат в форме, в которой уже произведены пренебрежения, отвечающие ультрарелятивистскому случаю и условиям (95,9):

(95,14)

Здесь введены обозначения:

(95,15)

(F(z) — вещественная функция). Интеграл I вычисляется затем прямо из (95,8).

Подставив значения интегралов в (95,11), а затем в (95,1), получим искомое дифференциальное сечение. Окончательная формула:

При

Выражение (95,16) сводится при этом, как и должно быть, к формуле Бете—Гайтлера (94,3), отвечающей борцовскому приближению. Оно сводится к той же формуле также и при произвольном, v, если углы вылета пары удовлетворяют условиям

Действительно, при этом , так что второй член в фигурных скобках в (95,16) может быть опущен ввиду наличия в нем лишнего (по сравнению с первым членом) множителя . В первом же члене имеем (заметив, что

(95,17)

в результате чего сокращается аналогичный множитель перед фигурными скобками.

Перейдем к интегрированию сечения по направлениям вылета пары.

Интегрирование по углам разобьем на две области, I и II, в которых соотсетственно

где — некоторое значение, для которого Поскольку в области II то, согласно сказанному выше, здесь где — сечение в борновском приближенья. Поэтому интеграл по углам

(95,18)

где (-проинтегрированное по углам борновсксе сечекие (94,5).

В области 1 имеем

От переменных перейдем к переменным Прямым вычислением якобиана преобразования иайдсм

причем

Выразив отсюда и подставив в (95,16), после простых алгебраических преобразований получим

Наконец, вводим вместо новые «сферические» переменные согласно

Указанные интервалы изменения отвечают изменению от 0 до 1, т. е. (или, что то же, ) от 0 до быстрая сходимость интеграла допускает такое расширение области изменения углов. После преобразования корень в знаменателе сводится к интегрирование по элементарно и дает

Сюда введен лишний множитель 2, учитывающий тот факт, что интегрирование по z будет производиться от 0 до между тем как при изменении азимута от 0 до и от до каждое значение z проходится дважды.

Интегрирование по производится с помощью формулы (92,14), которая при (и соответственно вещественной ) имеет вид

Рис. 18

Интеграл от этого выражения равен Значение берется из (95,17), а предельное выражение для дается формулой

где

(95.19)

Подставив все найденные выражения в (95,18), получим следующую окончательную формулу:

(95.20)

Полное сечение образования пары фотоном с энергией

(95,21)

Мы видим, что в этих формулах изменения сводятся к вычитанию из логарифма универсальной функции атомного номера На рис. 18 дан график этой функции. При