§ 40. Электрон в поле плоской электромагнитной волны

Уравнение Дирака может быть решено точно для электрона, движущегося в поле плоской электромагнитной волны (Д. М. Волков, 1937).

Поле плоской волны с волновым 4-вектором зависит от 4-координат лишь в комбинации так что -потенциал

причем он удовлетворяет условию калибровки Лоренца

(штрих означает дифференцирование по Поскольку постоянный член в А несуществен, в этом условии можно опустить штрих и записать его в виде

Исходим из уравнения второго порядка (32,6), в котором тензор поля

При раскрытии же квадрата надо учесть, что в силу результате получим уравнение

Ищем решение этого уравнения в виде

где — постоянный 4-вектор.

Прибавление к любого вектора вида не меняет такого вида функции (требуется лишь соответствующее переобозначение функции ). Поэтому можно без ограничения общности наложить на одно дополнительное условие. Пусть

Тогда при выключении поля квантовые числа переходят в компоненты 4-импульса свободной частицы. Смысл компонент 4-вектора при наличии поля более нагляден в специальной системе отсчета, выбранной так, чтобы было . Пусть в этой системе вектор А направлен по оси а k — по оси (т. е. электрическое поле волны направлено по магнитное — по а сама волна распространяется вдоль оси ). Тогда (40,5) будет собственной функцией операторов

с собственными значениями (сами же эти операторы, как легко видеть, коммутативны с гамильтонианом уравнения Дирака). Таким образом, в данной системе отсчета — компоненты обобщенного импульса вдоль осей — разность между полной энергией и компонентой обобщенного импульса вдоль оси

При подстановке (40,5) в (40,4) замечаем, что

и находим для уравнение

Формальное решение этого уравнения

где — произвольный постоянный биспинор (о форме его записи см. ниже).

Все степени выше первой равны нулю, поскольку

Поэтому можно заменить

так что принимает вид

где

Для выяснения условий, налагаемых на постоянный биспинор и, следует считать, что волна бесконечно медленно «включается», начиная от Тогда при должно переходить в решение свободного уравнения Дирака. Для этого должно удовлетворять уравнению

Этим условием отбрасываются «лишние» решения уравнения второго порядка. Так как и не зависит от времени, это условие остается в силе и при конечных Таким образом, совпадает с биспинорной амплитудой свободной плоской волны; будем предполагать ее нормированной тем же условием (23,4): .

Изложенные рассуждения позволяют также сразу выяснить нормировку волновых функций (40,7). Бесконечно медленное включение поля не меняет нормировочного интеграла. Отсюда следует, что функции (40,7) удовлетворяют тому же условию нормировки

(40,10)

что и свободные плоские волны.

Найдем плотность тока, отвечающую функциям (40,7). Заметив, что

прямым перемножением получим

Если периодические функции и их среднее (по времени) значение обращается в нуль, то среднее значение плотности тока

Найдем также плотность кинетического импульса в состоянии Оператор кинетического импульса есть разность Прямым вычислением найдем

(40,13)

Среднее по времени значение этого 4-вектора, которое обозначим , есть

Его квадрат.

(40,15)

играет роль «эффективной массы» электрона в поле. Сравнив (40,14) и (40,12), мы видим, что,

(40,16)

Отметим также, что условие нормировки (40,10), выраженное с помощью вектора q, имеет вид

(40,17)

(переход от (40,10) к (40,17) проще всего произвести в указанной выше специальной системе отсчета).