§ 83. Уравнение Брейта

Как известно, в классической электродинамике система взаимодействующих частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зависящей лишь от координат и скоростей самих частиц и правильной с точностью до членов — (см. II, § 65). Это обстоятельство связано с тем, что излучение появляется лишь как эффект порядка

В квантовой теории этой ситуации соответствует возможность описания системы уравнением Шредингера, учитывающим члены второго порядка. Для электрона, движущегося во внешнем электромагнитном поле, такое уравнение было установлено в § 33. Теперь мы займемся выводом аналогичного уравнения описывающего систему взаимодействующих частиц.

Будем исходить из релятивистского выражения для амплитуды рассеяния двух частиц. В нерелятивистском приближении она переходит в обычную борновскую амплитуду пропорциональную компоненте Фурье потенциала электростатического взаимодействия двух зарядов. Вычислив же амплитуду с точностью до членов второго порядка, мы сможем установить вид соответствующего ей потенциала, учитывающего члены .

Предположим сначала, что две частицы различные, с массами (скажем, электрон и мюон).

Тогда рассеяние изображается одной диаграммой

Ей соответствует амплитуда

(83,1)

(здесь предположено, что заряды частиц одного знака; в противном случае заменяется на ).

Дальнейшие вычисления заметно упрощаются, если фотонный пропагатор D выбрать не в обычной, а в кулоновой калибровке (76,12-13)):

Тогда амплитуда рассеяния

В пренебрежении всеми членами, содержащими второй член в фигурных скобках выпадает вовсе, а первый дает

(83,4)

где

а через обозначены введенные в § 23 спинорные (двухкомпонентные) амплитуды нерелятивистских плоских волн. Функция представляет собой компоненту Фурье потенциальной энергии кулонова взаимодействия:

В следующем (по ) приближении «шредингеровская» волновая функция свободной частицы (нормированная по интегралу удовлетворяет уравнению

в котором учтен следующий член разложения релятивистского выражения для кинетической энергии. Амплитуду (спинорную) такой плоской волны обозначим w (при она переходит в

Именно через эти амплитуды и должна быть выражена искомая амплитуда рассеяния для того, чтобы по ее виду можно было определить «шредингеровский» потенциал взаимодействия частиц в рассматриваемом приближении.

В соответствии с формулой (33,11) биспинорная амплитуда свободной частицы и выражается через «шредингеровскую» амплитуду w — с требуемой здесь точностью — в виде

С помощью этой формулы находим

где Аналогичные выражения для отличаются заменой индексов 1 на 2 и соответственно заменой q на .

Подставим эти выражения в (83,3). Поскольку произведение Уже содержит множитель можно пренебречь в знаменателе. В результате получим амплитуду рассеяния в виде

где

(индексы 1, 2 у матриц Паули указывают, на чьи спинорные индексы они действуют: действует на , а на ).

Функция есть оператор взаимодействия частиц в импульсном представлении. Он связан с оператором в координатном представлении формулой

(83,10)

Если оператор О представляет собой просто функцию то не зависит от и формула (83,10) сводится к обычному определению компоненты Фурье:

Отсюда ясно, что для нахождения надо вычислить интеграл

и затем заменить операторами расположив их правее всех других множителей.

Нужные интегралы вычисляются дифференцированием формулы

Так, взятием градиента находим

Далее (а, b — постоянные векторы)

получившийся интеграл после интегрирования по частям сводится к (83,12) и дает

(83,13)

Наконец,

При раскрытии производных надо иметь в виду, что это выражение содержит в себе -функцию . Для ее выделения замечаем, что после усреднения по направлениям

Раскрывая теперь производные обычным образом, находим

(при усреднении по направлениям первый член обращается в нуль и остается лишь член с -функцией).

С помощью этих формул получим следующее окончательное выражение для оператора взаимодействия частиц:

Полный гамильтониан системы двух частиц в этом приближении

где гамильтонианы свободных частиц из (83,6).

Два электрона

Если частицы тождественны (два электрона), то в амплитуде рассеяния появляется второй член, изображающийся «обменной» диаграммой

Вычислять его вклад в оператор взаимодействия, однако, нет необходимости. Дело в том, что описание системы тождественных частиц уравнением Шредингера может осуществляться с помощью такого же оператора взаимодействия, как для нетождественных частиц, если условиться о должной симметризации решений уравнения. В частности, при рассмотрении рассеяния частиц такая симметризация автоматически учтет вклады в амплитуду, соответствующие обеим фейнмановским диаграммам.

Таким образом, гамильтониан системы двух электронов получится из формул (83,15-16), если просто положить в них :

(83,17)

Заметим, что присутствие членов с не означает, конечно, наличия особо сильного взаимодействия. Интегральная величина всех поправочных членов одинакова, и по смыслу произведенного разложения все они должны рассматриваться как малые по сравнению с первым членом — кулоновым взаимодействием.

Различные группы членов в операторе взаимодействия (83,17) имеют различный характер. Члены первой строки в О имеют чисто орбитальное происхождение. Во второй строке стоят члены, линейные по операторам спина частиц; они отвечают спин-орбитальному взаимодействию. Наконец, квадратичные по спиновым операторам члены третьей строки описывают спин-спиновое взаимодействие.

Электрон и позитрон

Система из электрона и позитрона требует особого рассмотрения. Амплитуда рассеяния в этом случае складывается из двух членов:

(83,18)

(первый отвечает рассеивательной, а второй — аннигиляционной диаграмме). Поскольку волновая функция системы «электрон + позитрон» не должна быть антисимметричной, оба члена дают независимые вклады в оператор взаимодействия.

Первый член (структура которого совпадает со структурой амплитуды (83,1)) приводит, естественно, к оператору, отличающемуся от (83,17) лишь общим знаком. Займемся преобразованием второго члена.

Воспользуемся здесь фотонным пропагатором в обычной калибровке:

В данном случае и поскольку частицы «почти нерелятивистские», то

(83,19)

Поэтому для фотонного пропагатора достаточно написать

Здесь уже содержится множитель . Поэтому амплитуды достаточно брать в нулевом приближении:

где — фигурирующие в (23,12) 3-спиноры (ниже индексы (0) у них опустим). С этими амплитудами

После подстановки этих выражений «аннигиляционная» часть амплитуды рассеяния принимает вид

(83,20)

Отсюда, однако, еще нельзя прямо сделать заключений о виде оператора взаимодействия. Во-первых, спиноры до, через которые выражаются амплитуды еще не являются в буквальном смысле позитронными. Позитронные амплитуды получаются из преобразованием зарядового сопряжения; согласно (26,6) соответствующие им спиноры (обозначим их ) связаны с w соотношением откуда

(83,21)

Во-вторых, амплитуда рассеяния должна быть приведена к виду, в котором сворачиваются друг с другом электронные и позитронные спиноры.

Эта цель доети гается с помощью формулы

(83,22)

которая сама следует из (28,17).

Наконец, выразив шиш через согласно (83,21), найдем, как легко проверить,

(83,23)

Подставив (83,23) в (83,22) и затем в (83,20), получим окончательное выражение для аннигиляционной. части амплитуды рассеяния

(матрицы действуют соответственно на ). Выражение в квадратных скобках представляет собой оператор взаимодействия в импульсном представлении. Соответствующий координатный оператор

(83,24)

(Pirenne, 1947; В. Б. Берестецкий и Л. Д. Ландау, 1949). Полный оператор взаимодействия электрона и позитрона есть