§ 127. Рассеяние фотона на фотоне

Рассеяние света на свете (в вакууме) является специфически квантовоэлектродинамическим процессом; в классической электродинамике оно отсутствует из-за линейности уравнений Максвелла.

В квантовой электродинамике рассеяние фотона на фотоне описывается как результат рождения двумя начальными фотонами виртуальной электрон-позитронной пары и последующей аннигиляции этой пары в конечные кванты. Амплитуда этого процесса (в первом неисчезающем приближении) изображается шестью «квадратными» диаграммами со всеми возможными относительными расположениями их четырех концов. Сюда относятся диаграммы

(127,1)

и еще три диаграммы, отличающиеся от этих лишь изменением направления обхода внутренней электронной петли. Вклад этих последних совпадает с вкладом диаграмм (127,1), и потому полная амплитуда рассеяния

(127,2)

где — вклады диаграмм а), б), в).

Согласно (64,19) сечение рассеяния

где — элемент телесных углов для направления к в системе центра инерции. Угол рассеяния в этой системе обозначим .

Инвариантные амплитуды

Выделив поляризационные множители четырех фотонов, представим в виде

(127,4)

4-тензор (его называют тензором рассеяния фотона на фотоне) - функция 4-импульсов всех фотонов.

Если написать аргументы функций со знаками, отвечающими одинаковым направлениям внешних концов диаграммы, то в силу симметрии совокупности диаграмм (127,1) очевидно, что тензор

будет симметричен по отношению к любым перестановкам четырех аргументов вместе с одновременной такой же перестановкой его четырех индексов. В силу калибровочной инвариантности амплитуда (127,4) не должна меняться при замене . Другими словами, должно быть

(127,5)

Как легко сообразить, отсюда следует, в частности, что разложение тензора рассеяния по степеням 4-импульсов должно начинаться с членов, содержащих четверные произведения их компонент. Тем самым во всяком случае

(127,6)

Для конкретного выделения инвариантных амплитуд целесообразно, однако, с самого начала выбрать определенную калибровку 4-векторов поляризации е — калибровку, в которой

(127,7)

Тогда

(127,8)

где — трехмерный тензор.

В качестве двух независимых поляризаций выберем для каждого из фотонов круговые поляризации с противоположными направлениями вращения, т. е. два спиральных состояния со спиральностями После этого тензор можно представить в виде

(127,9)

16 величин являются функциями от s, t, и и играют роль инвариантных амплитуд; не все они, однако, независимы.

Величины — трехмерные скаляры. Пространственная инверсия меняет знак спиральностей; инвариантные же пе

Поэтому требование Р-инвариантности приводит к соотношениям

(127,10)

Обращение времени переставляет начальные и конечные фотоны, не меняя их спиральностей; переменные s, t, и снова остаются неизменными. Поэтому требование Г-инвариантности приводит к равенству

(127,11)

Наконец, еще одно соотношение является следствием инвариантности амплитуды относительно перестановки двух начальных или двух конечных фотонов. Если произвести сразу обе перестановки то переменные s, t, и не изменятся, а перестановка в поляризационных индексах приведет к соотношению

(127,12)

Легко убедиться, что в силу свойств симметрии (127,10-12) число независимых инвариантных амплитуд сводится к пяти; в качестве них можно, например, выбрать

(индексы «+», «-» означают спиральности +1 и —1).

Если подставить в (127,3) вместо одну из амплитуд то мы получим сечение рассеяния с заданными поляризациями начальных и конечных фотонов. Сечение же, просуммированное по конечным и усредненное по начальным поляризациям, получится заменой

(127,13)

Соотношения симметрии (127,10-12) связывают между собой различные инвариантные амплитуды как функции одних и тех же переменных. Дальнейшие функциональные соотношения возникают как следствие перекрестной симметрии (см. § 78), если учесть, что амплитуда во всех каналах описывает одну и ту же реакцию (взаимное рассеяние двух фотонов) и потому не должна меняться при переходе от одного канала к другому.

Переход от -канала (которому отвечает направление стрелок на диаграммах (127,1)) к -каналу осуществляется перестановкой 4-импульсов и (заменой переменных ) и перестановкой индексов спиральностей

Аналогичным образом, переход от s- к -каналу осуществляется перестановкой (причем и заменой — Это приводит к соотношениям

(127,14)

полностью симметричны по переменным s, t, и Поэтому достаточно вычислить лишь 3 из 16 амплитуд, например

Соотношения (127,10-12), (127,14) относятся к полным амплитудам — суммам вкладов всех трех диаграмм (127,1). Но сами эти вклады связаны между собой соотношениями, очевидными из сравнения диаграмм. Так, диаграмма б) получается из а) заменой и потому их вклады в инвариантные амплитуды получаются друг из друга заменой переменных и индексов — аналогично вклад диаграммы в) получится из а) заменой

Вычисление амплитуд

Интеграл отвечающий диаграмме (127,1, а), имеет вид (126,4), причем

(127,15)

Интегралы (126,4) логарифмически расходятся. В соответствии с условием (127,6) их регуляризация осуществляется вычитанием значения при Вычисление регуляризованных интегралов, однако, чрезвычайно громоздко.

Наиболее естественный путь для вычисления амплитуд рассеяния фотона на фотоне основан на использовании двойного

Этот метод наиболее полно учитывает симметрию диаграмм и почти полностью исключает трудности интегрирования.

Функция (и аналогично ) для каждого заданного набора спиральностей вычисляется согласно (126,6). Ввиду наличия под интегралом двух -функций нам нужно знать значение лишь при

(127,16)

эти равенства можно учитывать уже при вычислении следа (127,15). Но для дальнейшей подстановки в (126,22) нам фактически требуется значение лишь при (Это равенство означает, что и ) Тогда интеграл (126,6) принимает вид

(ср. вывод ). Введя угол - между q и к, получим

Интегралы (127,17) фактически выражаются через элементарные функции. Вычисление же функции согласно ее определению (126,18) вообще не требует интегрирования, при этом выражение для должно быть взято для значений q из (126,15), удовлетворяющих, помимо (127,16), также и условиям

После вычисления функций дисперсионное соотношение (126,22) дает амплитуду непосредственно в виде одно- и двукратных определенных интегралов.

Приведем окончательный результат для трех инвариантных амплитуд, достаточных, согласно сказанному выше, для определения также и всех остальных амплитуд:

(127,18)

Здесь обозначено:

(127,19)

выражения же в областях получаются из (127,19) путем аналитического продолжения по правилу , т. е. через верхнюю полуплоскость этих переменных. (Для упрощения записи в формулах (127,18-19), и только в них, буквы s и t обозначают отношения

Сечение рассеяния

Предельному случаю малых частот () отвечают малые значения переменных s, t, u. Первые члены разложения инвариантных амплитуд по этим переменным:

(127,20)

Подставив эти выражения в формулу (127,3), получим сечения рассеяния поляризованных фотонов. Дифференциальное же сечение рассеяния неполяризованных фотонов вычисляется согласно (127,13) и равно (в обычных единицах)

а полное сечение)

(127,22)

В обратном, ультрарелятивистском случае полное сечение рассеяния неполяризованных фотонов

(127,23)

Наконец, укажем дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в ультрарелятивистском случае:

Это выражение справедливо с логарифмической точностью — следующий член разложения содержит на единицу меньшую степень большого логарифма. Для перехода к пределу (рассеяние вперед) формула (127,24) непригодна. Вместо нее имеем здесь

(127,25)

Это выражение легко получить с помощью общих формул (127,18), положив в них и заметив, что при наиболее высокую (вторую) степень большого логарифма содержит лишь функция

С этой точностью отличны от нуля лишь амплитуды

Мы видим, в частности, что в этом случае поляризация фотона при рассеянии не меняется.

На рис. 24 изображен график зависимости полного сечения рассеяния от частоты (в логарифмической, по обеим осям, шкале). Сечение убывает в сторону как малых, так и больших частот и достигает максимума при Излом кривой при отражает изменение характера процесса в связи с появлением возможности образования реальной электронной пары.

Рис. 24

Случаи малых частот

В случае малых частот () амплитуду рассеяния фотона на фотоне можно получить также и совсем иным способом, исходя из поправочных членов в функции Лагранжа слабого электромагнитного поля (см. ниже, § 129).

Малая поправка к гамильтониану взаимодействия V отличается лишь знаком от малой поправки к лагранжиану. Согласно (129,21) имеем

(127,26)

Поскольку этот оператор — четвертого порядка по полю, он имеет матричные элементы для интересующего нас перехода уже в первом приближении.

Для вычисления надо подставить в (127,26)

(X — номер поляризации), после чего элемент -матрицы вычисляется как

(127,28)

(ср. § 72, 77). При нормировке А, как в (127,27), амплитуда рассеяния непосредственно определяется по согласно

(127,29)

(ср. § 64). Среднее значение в (127,28) вычисляется по теореме Вика с помощью (77,3), причем свертывать надо, разумеется, только «внешние» операторы с внутренними А.