§ 141. Низкоэнергетическая теорема для рассеяния фотона на адроне

В пределе малых частот сечение рассеяния фотона на всякой неподвижной заряженной частице стремится к своему классическому значению, даваемому формулой Томсона. Этому пределу соответствует не зависящая от частоты фотона амплитуда, которую обозначим Оказывается, однако, что и для рассеяния фотона (как и для рассмотренного в предыдущем параграфе тормозного излучения) не зависит от деталей электромагнитной структуры адрона не только этот первый, но и следующий член разложения амплитуды по степеням со:

(141,1)

где (F. Е. Low, 1954; М. Gell-Mann, М. L. Goldberger, 1954).

Рассматриваемый процесс изображается диаграммами трех видов:

(141,2)

из которых первые две снова характеризуются наличием одночастичного промежуточного состояния и потому обладают полюсной особенностью.

Аргументация и принципиальная сторона вычислений остаются теми же, что и в § 140. Достаточно фактически вычислить лишь вклад от полюсных частей диаграмм (141,2, а — б), причем электромагнитные вершины в них выражаются через статические формфакторы (заряд и аномальный магнитный момент ) согласно (140,15).

Однако, в отличие от случая тормозного излучения, интересующие нас теперь поправки к сечению комптон-эффекта существуют лишь для частиц со спином. Дело в том, что в случае тормозного излучения кроме поправок, связанных со спином, имеются также поправки, связанные с энергетической зависимостью амплитуды «упругого» процесса. Но в данном случае роль последней играют формфакторы, которые для «физических концов» сводятся к постоянным и от энергии не зависят. Поэтому для рассеяния фотона поправки возникают только за счет магнитного момента, отсутствующего у частиц без спина. Ниже мы рассмотрим рассеяние фотона на адроне со спином 1/2.

Понимая под вклад в амплитуду рассеяния от полюсных диаграмм, имеем (ср. (86,3-4))

(141,3)

где

(141,4)

и для краткости введены обозначения

(141,5)

Переставляя операторы и учитывая уравнения

можно преобразовать выражение (141,4) к виду

Такая форма записи (и аналогичная с переставленными k и k) делает очевидной калибровочную инвариантность выражения (141,3), условием которой являются равенства

(141,7)

(при проверке надо помнить, что ).

Поскольку полюсная часть амплитуды рассеяния оказывается, таким образом, калибровочно-инвариантной уже сама по себе, должна быть инвариантной сама по себе также и регулярная часть амплитуды, включающая в себя и вклад диаграммы (141,2, в). Отсюда в свою очередь следует, что разложение этой части по степеням k и k должно начинаться с квадратичных членов аналогичное замечание в связи с условием Другими словами, регулярная часть амплитуды содержит лишь члены, начиная с пропорциональных т. е. не дает никакого вклада в интересующие нас члены, пропорциональные Все последние содержатся, следовательно, в выражении (141,3).

Для их фактического вычисления выбираем лабораторную систему отсчета, в которой покоится начальный адрон. Для фотонов же выбираем трехмерно поперечную калибровку, в которой Тогда и из (141,6) видно, что первые члены разложения будут пропорциональны а члены, содержащие [хан, дадут вклад лишь в члены, пропорциональные

Волновые амплитуды начального и конечного адронов в лабораторной системе отсчета с нужной точностью имеют вид

где - 3-спиноры.

Прямое вычисление приводит к следующему результату:

(141,8)

где

Сечение рассеяния

(см. (64,19)). Для рассеяния на заряженной частице отличны от нуля как так и Принятая точность допускает при этом сохранение в квадрате членов

Первый дает томсоновское сечение. Второй же обращается в нуль при усреднении по поляризациям фотонов и адронов. Поэтому при рассеянии на заряженном адроне рассматриваемые поправки проявляются только в поляризационных эффектах.

Для рассеяния же на электрически нейтральном адроне и сечение определяется квадратом После усреднения по поляризациям начальных и суммирования по поляризациям конечных частиц оно оказывается равным (в обычных единицах)

(141,11)

где — угол рассеяния фотона, а аномальный магнитный момент совпадает с полным моментом Отметим, что по своей угловой зависимости это сечение соответствует случаю антисимметрического рассеяния (см. задачу 2 к § 60).