§ 111. Аналитические свойства фотонного пропагатора

Исследование аналитических свойств фотонного пропагатора удобно начать с изучения свойств функции Дело в том, что прямое использование для этой цели определения (103,1) затрудняется калибровочной неоднозначностью операторов и проистекающей отсюда неопределенностью их свойств.

Исходя из выражения собственно-энергетической функции фотона через матричные элементы калибровочно-инвариантного оператора тока в § 104 было получено интегральное представление функции (104,11). Обозначив переменную через рассмотрим свойства функции в плоскости комплексного

Из интегрального представления

(111,1)

видно, что на отрицательной вещественной полуоси функция вещественна, а во всей остальной плоскости удовлетворяет соотношению симметрии

(111,2)

Функция может иметь особенность лишь в особых точках функции . Последние лежат при значениях являющихся поррговыми для рождения виртуальным фотоном различных совокупностей реальных частиц. При этих значениях «вступают в игру» новые типы промежуточных состояний в сумме (104,9). Вклад от этих состояний равен нулю ниже порога и отличен от нуля выше порога, что и приводит к особенности функции в самой точке порога. Эти пороговые значения, разумеется, вещественны и неотрицательны. Поэтому и особые точки функции лежат на положительной вещественной полуоси переменной t. Если провести разрез по этой полуоси, то функция будет аналитична во всей разрезанной таким образом плоскости.

Член в знаменателе подынтегрального выражения в (111,1) показывает, что полюс должен обходиться снизу. Иными словами, под значением функции при вещественном t следует понимать ее значение на верхнем берегу разреза. Используя правило (75,18):

(111,3)

находим, что для вещественных t

(111,4)

На нижнем же берегу разреза имеет обратный знак, a на обоих берегах одинаково. Поэтому скачок функции на разрезе

(111,5)

Само интегральное представление (111,1) можно рассматривать в этом аспекте просто как формулу Коши для аналитической функции . Действительно, применим формулу Коши

к контуру

(111,7)

огибающему разрез. В предположении достаточно быстрого убывания на бесконечности, интеграл по большой окружности исчезает, а интегралы по берегам разреза дают следующую формулу (дисперсионное соотношение), определяющую функцию по ее мнимой части:

Подставив сюда (111,4), получим (111,1).

Аналитические свойства функций совпадают со свойствами функции через которую они выражаются простыми формулами (104,2) и (103,21). Для имеем

(111,9)

На вещественной полуоси согласно сказанному выше надо понимать t как .

Мнимую часть можно вычислить затем с помощью (111,3) и (111,4), причем надо учесть, что согласно при Тогда найдем

(111,10)

Применив теперь к функции дисперсионное соотношение вида (111,8), получим для нее следующее интегральное представление;

(111,11)

Эту формулу называют разложением Челлена — Лемана (G.Kallеn, 1952; H. Lehmann, 1954).

Существует тесная связь между положением разреза для функции (а тем самым и ее мнимой частью на разрезе), с одной стороны, и условием унитарности для амплитуды процесса а , изображаемого диаграммой (110,4), с другой стороны (эта реакция, конечно, чисто воображаемая; она не противоречит, однако, законам сохранения, и формальное условие унитарности для нее должно выполняться).

В начальном состоянии этого процесса имеются две «классические» частицы а и а в конечном — две другие Условие унитарности (71,2):

(111,12)

суммирование в правой стороне производится по всем физическим «промежуточным» состояниям . В данном случае этими состояниями являются, очевидно, состояния систем реальных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном k, т. е. как раз те состояния, которые фигурируют в матричных элементах в определении функции Амплитуды содержат соответственно множители а их разность — мнимую часть Мы видим, таким образом, что уже известная нам (из ) связь между появлением мнимой части и существованием указанных промежуточных состояний является следствием необходимых требований унитарности.

Мы увидим в дальнейшем, что фактические вычисления по теории возмущений функции (или, что то же, функции ) удобно начать с вычисления мнимой части в которой не возникает расходящихся выражений.

Но если затем вычислять функцию по дисперсионной формуле вида (111,8), то интеграл окажется расходящимся и понадобится производить дополнительные операции вычитания с целью удовлетворить условиям Это вычитание можно, однако, произвести без явного оперирования с расходящимся интегралом. Для этого достаточно применить дисперсионное соотношение (111,8) не к самой функции а к функции Тогда представится в виде

Этот интеграл уже сходится, а получаемая таким образом функция автоматически удовлетворяет требуемым условиям.

О соотношении вида (111,13) говорят как о дисперсионном соотношении «с двумя вычитаниями». Смысл использованного в нем перехода к функции становится особенно наглядным, если записать (111,13) в виде

Если обозначить первый («нерегуляризованный») интеграл как то все выражение в правой стороне будет равно