§ 85. Взаимодействие атомов на далеких расстояниях

Между двумя нейтральными атомами, находящимися на больших (по сравнению с их собственными размерами) расстояниях , действуют силы притяжения. Обычное квантовомеханическое вычисление этих сил (см. III, § 89) становится, однако, неприменимым на слишком больших расстояниях. Дело в том, что в этом вычислении рассматривается лишь электростатическое взаимодействие, т. е. не учитываются эффекты запаздывания. Такое рассмотрение справедливо лишь до тех пор, пока расстояние остается малым по сравнению с характерными длинами волн Ко в спектрах взаимодействующих атомов. В этом параграфе будет произведено вычисление, свободное от такого ограничения.

Поступим примерно так же, как в § 83, т. е. будем вычислять в первом не исчезающем приближении амплитуду упругого (без изменения внутреннего состояния) рассеяния двух различных атомов. Полученное выражение сравним с амплитудой, которая получилась бы при описании взаимодействия атомов потенциальной энергией .

В последнем случае первым не исчезающим элементом -матрицы, описывающим данный процесс, был бы элемент первого приближения

Здесь не зависящие от времени части волновых функций (плоских волн), описывающих поступательное движение двух атомов с начальным и конечными импульсами; и — кинетические энергии этого движения; координаты и атомов как целого можно понимать как координаты их ядер, а расстояние Временной интеграл в (85,1) дает, как обычно, -функцию, выражающую собой закон сохранения энергии. Для дальнейшего сравнения будет, однако, удобно формально рассматривать предельный случай бесконечно больших масс атомов; при заданных их импульсах этому пределу отвечают равные нулю энергии е. Иначе можно сказать, что рассматриваются времена, малые по сравнению с периодами . Тогда (85,1) примет вид

где — интервал интегрирования по времени.

Фактическое вычисление амплитуды упругого рассеяния можно при сделанных предположениях разбить на два этапа. Сначала усредняем S-оператор по волновым функциям неизменных (основных) состояний обоих атомов (при заданных координатах их ядер и ), а также по фотонному вакууму — в начале и в конце процесса фотоны отсутствуют. В результате получим величину, являющуюся функцией от расстояния между ядрами; обозначим ее Чтобы найти искомый матричный элемент перехода, надо вычислить затем интеграл

Сравнив с (85,2), мы увидим, что если получить выражение для в виде

то функция и будет искомой энергией взаимодействия атомов.

Поскольку мы имеем дело в данном случае со столкновением не элементарных частиц, а сложных систем (атомов, которые в промежуточных состояниях могут быть возбуждены), обычные формальные правила диаграммной техники здесь непосредственно неприменимы, и мы начнем с исходного выражения для S-оператора в виде разложения (72,10).

Для взаимодействия атомов существенны компоненты полей с частотами порядка атомных (и меньшими). Соответствующие длины волн велики по сравнению с атомными размерами. Поэтому оператор электромагнитного взаимодействия может быть взят в виде

где — операторы дипольных моментов атомов (имеются в виду зависящие от времени — гейзенберговские — операторы), а оператор электрического поля, который берется в точках нахождения соответствующих атомов.

Как известно, средние значения дипольного момента атома в его стационарных состояниях равны нулю (см. III, § 75). Отсюда следует, что отличная от нуля амплитуда рассеяния появится только в четвертом приближении теории возмущений, т. е. как матричный элемент оператора

Действительно, в более низких порядках каждый член в произведениях операторов будет содержать хотя бы один из операторов или первой степени и при усреднении по состоянию соответствующего атома обратится в нуль.

Усредним оператор (85,5) по фотонному вакууму. По теореме Вика среднее от произведения четырех операторов поля Е сводится к сумме произведений их попарных средних (сверток). Разбиение на пары может быть произведено тремя способами, которые можно изобразить диаграммами:

где пунктирные линии изображают свертки, а цифрам отвечают аргументы Кроме того, каждой точке могут отвечать пространственные координаты или (причем двум точкам и двум в противном случае в данном члене суммы один из операторов d, или войдет в первой степени и обратится в нуль при усреднении по состоянию атома). Очевидно, что в точках, соединенных линиями, должны стоять различные . В противном случае диаграмма (т. е. соответствующий ей член в матричном элементе) сведется к произведению независимых функций от и от вместо того чтобы быть функцией от разности такие члены не имеют отношения к рассеянию. В соответствии с этими условиями можно расставить аргументы по четырем точкам диаграммы четырьмя способами. Учитывая также коммутативность операторов d, и и усредняя по состояниям каждого из атомов, находим, что все получающиеся таким образом 3•4=12 членов одинаковы (они различаются лишь обозначением переменных интегрирования). В результате получим

где — трехмерные векторные индексы.

Для вычисления величин

воспользуемся калибровкой потенциалов, в которой скалярный потенциал

Тогда и мы имеем

где — фотонный пропагатор в данной калибровке.

Ниже нам будет удобнее пользоваться пропагатором в смешанном -представлении, который связан с согласно

При этом

Величины

(85,10)

разлагаем в интеграл Фурье

Положив для удобства запишем по определению Т-произведения

(85,11)

Входящие сюда средние (по основному состоянию атома) значения выражаются через матричные элементы дипольного момента;

Для сходимости интегралов в (85,11) в первом из них надо понимать как а во втором — как . Произведя интегрирование, получим

Если основное состояние является S-состоянием, то этот тензор сводится к скаляру: где

Если же атом обладает моментом, то тот же результат получится после усреднения по его направлениям, что и будет подразумеваться (нас интересует, конечно, взаимодействие атомов, усредненное по их взаимным ориентациям).

Сравнив (85,12) с выражением (59,17), мы увидим, что совпадает с тензором когерентного рассеяния фотона частоты и на атоме. Согласно (59,23) а при совпадает с поляризуемостью атома. Значения же при выражаются через значения при с помощью очевидного из (85,13) соотношения

Подставив полученные выражения в (85,7), найдем

( мы учли также четность функции по ). Интегрирование по трем временам дает -функции (в силу которых ), а по четвертому — множитель

где

(85,14)

Эта формула и определяет энергию взаимодействия двух атомов на любых расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами а. Остается найти и подставить сюда явное выражение для функции .

Сравнив друг с другом выражения (76,14) и (76,8), найдем, что

где D дается формулой (76,8).

В -представлении эта связь выразится, следовательно, равенством

Подставив сюда из (76,16) и произведя дифференцирования, найдем

Наконец, подставив это выражение в (85,14), после простых преобразований с учетом четности функции получим следующее окончательное выражение для энергии взаимодействия атомов:

(85,17)

Это общее выражение можно упростить в предельных случаях «малых» и «больших» ) расстояний.

При в интеграле существенны (см. ниже) значения где — атомные частоты; поэтому . В этом случае можно оставить в квадратных скобках только последний член и заменить экспоненту единицей. Написав интеграл в пределах от до (с целью дальнейшего преобразования), найдем

(85,18)

Как и должно быть, мы получили для взаимодействия на этих расстояниях закон Интеграл в этой формуле легко вычисляется, после подстановки в него а из (85,13), путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости комплексной переменной ; при этом интеграл определяется вычетами подынтегрального выражения в полюсах Предположив для упрощения записи результата оба атома одинаковыми, получим (в обычных единицах)

что совпадает с известной формулой Лондона (см. III, § 89, задача).

В предельном же случае больших расстояний, в интеграле существенны значения со при интеграл погашается быстро осциллирующим множителем Поэтому можно заменить поляризуемости их статическими значениями После этого интегрирование производится элементарно (причем для обеспечения сходимости следует заменить в экспоненте ). В результате окончательно находим (в обычных единицах):

(85,20)

(H.B.G. Casimir. D. Polder. 1948)