§ 52. Излучение атомов. Атом водорода

Атом водорода представляет единственный случай, в котором вычисление матричных элементов перехода может быть произведено до конца в аналитическом виде (W. Gordon, 1929).

Четность состояния атома водорода равна т. е. однозначно определяется орбитальным моментом электрона (напомним, что число как определяющее четность состояния сохраняет свой смысл и для точных релятивистских волновых функций, т. е. при учете спин-орбитального взаимодействия). Поэтому правило отбора по четности строго запрещает электрически-дипольные переходы без изменения возможны лишь переходы с Изменения же главного квантового числа не ограничены.

Дипольный момент атома водорода сводится к радиус-вектору электрона: Поскольку волновая функция электрона в атоме водорода представляет собой произведение угловой части и радиальной функции приведенные матричные элементы радиус-вектора тоже представляются в виде произведения

где — приведенные матричные элементы единичного вектора v в направлении . Последние равны

(см. III (29,14)). Таким образом,

Нерелятивистские радиальные функции дискретного спектра атома водорода даются формулой III (36,13)

Интеграл (52,1) с произведением двух вырожденных гипергеометрических функций вычисляется с помощью формул, приведенных в III, § f. Вычисление приводит к результату

где ) — гипергеометрические функции. Поскольку параметры в данном случае равны отрицательным целым числам (или нулю), эти функции сводятся к полиномам.

Приведем для справок выражения, получающиеся из (52,3) в некоторых частных случаях (значение указываем спектроскопическим символов :

Формула (52,3) непригодна для переходов без изменения главного квантового числа (переходы между компонентами тонкой структуры уровня). В этом случае для осуществления интегрирования исходим из представления радиальных функций через обобщенные полиномы Лагерра:

В интеграле

заменяем один из полиномов его выражением через производящую функцию (см. III, § d):

После -кратного интегрирования по частям получим интеграл вида

в котором заменяем полином Лагерра его явным выражением согласно формуле

После проведения дифференцирования в сумме остается всего три члена, после чего интегрирование элементарно. Вычисление приводит к простому результату:

Интеграл

представляет собой коэффициент разложения функции по системе ортогональных функций Сумма квадратов модулей этих коэффициентов равна интегралу от квадрата разлагаемой функции.

Поэтому

Воспользовавшись известным выражением для среднего квадрата в состоянии (см. III (36,16)), найдем следующее правило сумм:

При заданных значениях и больших значениях я матричный элемент перехода убывает по закону

в чем можно убедиться как из частных выражений (52,4), так и из общей формулы (52,3). Этот результат вполне естествен: кулоновы уровни энергии при больших я расположены квазинепрерывно, и вероятность перехода на какой-либо уровень в интервале пропорциональна плотности расположения этих уровней, которая сама

Эффект Штарка в водороде имеет, как известно, специфический характер (ем. III, § 77) — расщепление пропорционально первой степени электрического поля. При этом поле предполагается хотя и не сильным (условие применимости теории возмущений), но в то же время таким, чтобы расщепление уровней было велико по сравнению с их тонкой структурой. В этих условиях величина момента вообще не сохраняется и уровни должны классифицироваться по параболическим квантовым числам . Последнее из них — магнитное квантовое число — по-прежнему определяет проекцию орбитального момента на ось (направление поля), которая в данных условиях (пренебрежение спин-орбитальным взаимодействием) сохраняется. Поэтому для него имеет место обычное правило отбора

(52,10)

Ограничений же для изменения чисел не имеется.

Матричные элементы дипольного момента в параболических координатах тоже могут быть вычислены аналитически. Получающиеся формулы, однако, очень громоздки, и мы не станем приводить их здесь.

Задачи

1. Найти штарковское расщепление уровней водорода в случае, когда расщепление мало по сравнению с интервалами тонкой структуры (но велико по сравнению с лэмбовским сдвигом).

Решение. В указанных условиях остается двукратное вырождение ревозмущенных уровней с в связи с чем штарковское расщепление остается линейным по полю. Значение расщепления определяется из секулярного уравнения

(индексы 1, 2 отвечают состояниям с и заданным магнитным квантовым числом ; возмущение диагонально по и не имеет элементов, диагональных по ). Матричный элемент орбитальной величины вычисляется с помощью формул III (29,7), III (109,3), согласно которым

причем надо положить ; величина берется из (52,6). В результате получим .

2. Определить вероятность испускания фотона при переходе между состояниями атома водорода (G. Breit, Е. Teller, 1940).

Решение. Рассматриваемый процесс строго запрещен для -перехода по четности, а для -перехода по правилу (46,15). Поэтому следует вычислить вероятность -перехода, даваемую формулой (47,5). В данном случае однако, магнитный момент — чисто сниновая величина, и его матричный элемент в пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием обращается в нуль в силу взаимной ортогональности орбитальных волновых функций с различными главными квантовыми числами. Это значит, что для получения отличного от нуля ответа было бы недостаточно приближения уравнения Паули, и надо исходить из полного уравнения Дирака.

В стандартном представлении волновых функций ток перехода

Согласно (35,1), (24,2) (24,8) волновые функции состояний с имеют вид

где — вещественный единичный -спинор, отвечающий значению проекции спина. Таким образом,

Подставив это выражение в (47,4) и произведя интегрирование по направлениям , получим

(в силу условий коммутации матриц Паули ); здесь

Вероятность же испускания фотона (47,5), просуммированная по значениям есть

Из (35,4) имеем (при )

во втором члене точная функция f заменена нерелятивистской радиальной функцией R. Если ограничиться приближением интеграл

в силу ортогональности функций . В следующем приближении, с учетом (3),

Учитывая, что в силу ортогональности точных функций имеем (при )

первый член в (4) после интегрирования по частям переписываем как

Вычисление интеграла с функциями

(см. III, § 36) и разностью энергий

дает Отсюда вероятность перехода (обычные единицы)

Соответствующее время жизни состояний очень велико, и фактически гораздо вероятнее высвечивание путем одновременного испускания двух фотонов (см. примеч. на с. 264).