§ 104. Собственно-энергетическая функция фотона

Для дальнейшего исследования аналитических свойств фотонного пропагатора будет полезно ввести, наряду с поляризационным оператором, еще одну вспомогательную функцию которую называют собственно-энергетической функцией фотона. Именно, определяется как сумма всех вообще (а не только компактных) собственно-энергетических фотонных частей. Изобразив эту сумму квадратиком на диаграмме, представим точный пропагатор суммой

(104,1)

т. е.

Выразив отсюда в виде

и подставив в это равенство (103,16), (103,19) и затем (103,21), получим

(104,2)

Мы видим, что (как и ) - калибровочно-инвариантный тензор.

Полезность величины связана с ее выражением в координатном представлении. Его легко найти, заметив, что равенство

с учетом следующей из (103,18) поперечности тензора в координатном представлении можно написать в виде

Для осуществления дифференцирования сюда надо подставить

(104,3)

Мы видели в § 75, что дифференцирование Г-произведения требует, вообще говоря, осторожности ввиду его разрывного характера. Но усредняемая в (104,3) разность непрерывна вместе со своими первыми производными, так как правила коммутации для компонент операторов (взятых в один и тот же момент времени) одинаковы и соответствующие скачки сокращаются § 75). Поэтому дифференцирование разности можно производить под знаком Т. Согласно (102,6) (и такому же уравнению без правой части для операторов свободного электромагнитного поля ) получим в результате выражение

(104,4)

Оно в явном виде выявляет калибровочную инвариантность поскольку таковы операторы тока.

Из (104,4) можно получить важное интегральное представление этой функции.

Ввиду (104,2) достаточно рассмотреть скалярную функцию . В координатном представлении

(104,5)

где символ нумерует состояния системы --электрон-позитронное

Так как оператор тока зависит от , зависят от также и его матричные элементы. Эту зависимость можно установить в явном виде, если выбрать в качестве состояний состояния с определенными значениями полного -импульса.

Зависимость матричных элементов тока от времени, как и для всякого гейзенберговского оператора, дается выражением

где — энергии состояний — шредингеровский оператор.

Для определения координатной зависимости матричных элементов рассматриваем оператор как результат преобразования оператора путем параллельного переноса на расстояние . Оператор такого переноса есть где Р — оператор полного импульса системы (см. III (15,13)). Имея в виду, общее правило преобразования матричных элементов (см. III (12,7)), находим поэтому, что

Вместе с предыдущей формулой это дает окончательно

(104,6)

Отметим также, что матрица эрмитова (как и матрица (104,6) оператора в целом), а в силу уравнения непрерывности (102,7) она удовлетворяет условию поперечности

(104,7)

Вернемся к вычислению функции Подставив (104,6) в (104,5), получим

(104,8)

где Обозначим

(104,9)

Суммирование производится по всем системам реальных электронных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном с 4-импульсом , а для каждой из таких систем — еще и по ее внутренним переменным (поляризации и импульсы частиц в системе центра инерции). В результате такого суммирования функция может зависеть только от k, а ввиду ее скалярности — только от . В частности, не зависит от направления к. Имея в виду эти свойства функции , переписываем (104,8) в виде

Переход к импульсному представлению осуществляется подстановкой сюда формулы

(использованной уже в § 76) и дает

или окончательно

Коэффициент в этом интегральном представлении называют спектральной плотностью функции

Он обладает свойствами:

(104,12)

Действительно, 4-импульс k виртуального фотона, который может родить систему реальных частиц, непременно времени подобен совпадает с квадратом полной энергии частиц в системе их центра инерции). В силу же условия поперечности (104,7) имеем

Но 4-вектор ортогональный времениподобному 4-вектору пространственноподобен, т. е.

а потому согласно определению (104,9) р > 0.