§ 92. Тормозное излучение электрона на ядре. Нерелятивистский случай

Этот и несколько следующих параграфов посвящены важному явлению тормозного излучения, сопровождающего столкновения частиц. Начнем с нерелятивистского столкновения электрона с ядром. Будем считать, что ядро остается неподвижным, т. е. рассмотрим излучение при рассеянии электрона в кулоновом поле неподвижного центра (A. Sommerfeld, 1931).

Исходим из формулы (45,5) для вероятности дипольного излучения

В данном случае начальное и конечное состояния электрона относятся к непрерывному спектру, а частота фотона

где — начальный и конечный импульсы электрона.

Если начальная и конечная волновые функции электрона нормированы на одну частицу в объеме то выражение (92,1), умноженное на и деленное на плотность падающего потока, даст сечение излучения фотона к в телесный угол с рассеянием электрона в интервал состояний Заменив матричный элемент дипольного момента матричным элементом импульса согласно

запишем выражение для сечения в виде

где

В качестве надо воспользоваться точными волновыми функциями в кулоновом поле притяжения, причем теми функциями, которые асимптотически содержат в себе плоскую и сферическую волны; в сферическая волна должна быть сходящейся, а в — расходящейся (см. III, § 136). Эти функции имеют вид

с нормировочными коэффициентами

Заметив, что

запишем в виде

При умножении на и интегрировании первый член обращается в нуль ввиду ортогональности и . Поэтому для матричного элемента имеем

где

Мы вынесли из-под знака интеграла, подразумевая, что при дифференцировании J величины v, v', q должны рассматриваться как независимые параметры и лишь после проведения дифференцирования следует выразить v и q через .

Интеграл вычисляется путем замены каждой из вырожденных гипергеометрических функций их выражениями в виде контурных интегралов. Мы приведем здесь лишь результат:

Здесь - полная гипергеометрическая функция.

После дифференцирования в (92,6) можно положить ; при этом

. Отметим также, что

В результате находим для матричного элемента следующее окончательное выражение:

(92,10)

где для краткости обозначено

(92,11)

Сечение получается подстановкой (92,10) в (92,3), но общая формула очень громоздка и трудно обозрима. Поэтому мы сразу перейдем к вычислению спектрального распределения излучения, т. е. проинтегрируем сечение по направлениям фотона и конечного электрона.

Интегрирование по и суммирование по поляризациям фотона сводится к усреднению по всем направлениям и умножению на , т. е. к замене

После этого сечение

(92,12)

Квадрат вычисляем, используя (92,9-11) и учитывая, что

Получаем

(92,13)

Для интегрирования сечения (92,12) по перейдем от переменной (угол рассеяния) к переменной

Чтобы взять интеграл по преобразуем выражение в фигурных скобках в (92,13). Согласно дифференциальному уравнению гипергеометрических функций (см. III (е, 2)) имеем

Умножив эти два уравнения соответственно на F и F' и сложив, получим

Отсюда видно, что выражение в фигурных скобках в (92,13) равно

(92,14)

и интегрируется непосредственно.

Собрав полученные формулы, найдем окончательное выражение для сечения тормозного излучения в интервале частот

(92,15)

где

Рассмотрим предельный случай, когда обе скорости и и и настолько велики, что (во, разумеется, по-прежнему , так что ; это возможно лишь для малого Z). Для вычисления в этом случае производной воспользуемся формулой

которую легко получить простым дифференцированием гипер геометрического ряда. Имеем

(последнее равенство очевидно из прямого сравнения соответствующих рядов). Для самой же функции имеем просто

В результате находим из (92,15)

(92,16)

Малость v и v есть как раз условие применимости борнов ского приближения в случае кулонова взаимодействия. Поэтому саму по себе формулу (92,16) проще получить непосредственно с помощью теории возмущений (см. задачу 1).

Пусть теперь быстрый электрон теряет на излучение значительную долю своей энергии, так что и может быть не малым. Тогда

и сечение

При эта формула дает такое же предельное выражение

как и формула (92,16) при . Поэтому формулы (92,16-17) вместе перекрывают (при ) весь диапазон значений v'.

При (где ) скорость и . В этом пределе (92,17) дает

Таким образом, стремится при к конечному пределу. Это обстоятельство можно обосновать в общем виде соображениями, аналогичными изложенным в III, § 147. Физически оно связано с тем, что частота является границей лишь непрерывного тормозного спектра. Электрон может излучить также и частоту перейдя в связанное состояние. Но сильно возбужденные связанные состояния в кулоновом поле по своим свойствам мало отличаются от близких к их границе свободных состояний. Поэтому граница, отделяющая непрерывный спектр от дискретного, по существу не является физически выделенной точкой.

Перейдем к случаю, когда оба параметра . В этом случае движение как начального, так и конечного электронов квазиклассично. Мы будем считать, что тогда нам понадобится асимптотическое выражение для функции при (более точное условие будет сформулировано ниже, (92,24)).

Рис. 17

Для получения этого выражения исходим из интегрального представления гипергеометрической функции III (е, 3), которое запишем в виде

(92,19)

где введено обозначение

так что

(92,20)

В качестве же контура интегрирования выбираем показанный на рис. 17 путь, проходящий вдоль отрезка вещественной оси и обходящий точки и

При значение подынтегрального выражения на нижней части этого контура мало и им можно пренебречь: при обходе точки сверху вниз подынтегральное выражение умножается на малый множитель , а при обходе точки снизу вверх — умножается на . Интеграл

(92,21)

вычисляем методом перевала. Перевальная точка определяется условием откуда . В этой точке, однако, обращается в нуль также и производная так что надо писать

где

Предэкспоненциальный же множитель в подынтегральном выражении пишем в виде

(ограничиться членом здесь нельзя, так как это привело бы к обращению в нуль фигурирующей в (92,15) производной . Таким образом, находим, после очевидной подстановки в интегралах,

Интегралы здесь равны соответственно

Аналогичным образом вычисляется производная (согласно (92,19) она дается интегралом, отличающимся от (92,21) лишь заменой предэкспоненциального множителя на ).

После этого простое вычисление приводит к результату

Наконец, подставив это выражение в формулу (92,15), найдем, с требуемой точностью, следующий простой результат:

(92,23)

Условие применимости этой формулы, т. е. условие применимости асимптотического выражения (92,22), состоит в требовании Малости в последнем второго члена по сравнению с первым: или после выражения параметров гипергеометрической функции через физические величины:

Условие (92,24) совпадает с условием, определяющим «высокочастотный предел» при классическом излучении в кулоновом поле притяжения, а величина с из (92,23) совпадает с выражением II (70,22) для «эффективного торможения» в этом пределе. Этот результат нуждается в некотором обсуждении. Может показаться, что для применимости классической формулы излучения требуется, кроме квазиклассичности движения, также и малость энергии кванта по сравнению с энергией электрона, т. е. условие что не предполагалось при выводе (92,23). В действительности, однако, значение должно быть мало не по сравнению с энергией электрона на бесконечности, а по сравнению с его кинетической энергией на том участке траектории, где в основном происходит излучение. Эта энергия гораздо больше начальной из-за ускорения электрона в поле иона.

Действительно, излучение высоких частот происхрдит в основном на малых расстояниях от иона, где

(92,25)

(Мы обозначили скорость электрона на расстоянии от иона, в отличие от скорости бесконечности.) Учитывая, что при этом находим, что кинетическая энергия на участке, где происходит излучение:

Поэтому излучение даже кванта с энергией порядка не меняет существенно движения на участке излучения и дополнительного условия малости не требуется.

Отметим также, что движение на участке (92, 25) при заданном моменте импульса не зависит от начальной энергии. Соответственно и энергия, излучаемая при пролете по траектории (обозначаемая в II, § 70 как ), зависит только от Сечение можно получить, умножая вероятность излучения на ( — прицельное расстояние) и интегрируя по всем . Поскольку в квазиклассическом случае

это приводит к зависимости соответствующей (92,23). Приведенное рассуждение объясняет, почему в эту формулу входит именно начальная (а не конечная) скорость электрона.

Для того чтобы перейти к классическим формулам во всей области , надо было бы найти асимптотику гипергеометрической функции в условиях близостиперевальной точки к особой точке мы не будем останавливаться здесь на этом ввиду очевидности окончательного результата.

Все написанные формулы относятся к кулонову полю при тяжения-. Сечение излучения в поле отталкивания получается из (92,15) заменой: При этом, в частности, предельная борновская формула (92,16) вообще не меняется. В пределе же: — получим вместо (92,18)

т. е. дифференциальное сечение стремится при к нулю по экспоненциальному закону. Этот результат снова естествен: в поле отталкивания связанные состояния отсутствуют и частота является истинной границей спектра излучения.

Задачи

1. Найти в борцовском приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух частиц с различными отношениями

Решение. Дипольный момент двух частиц, с зарядами и массами в системе их центра инерции равен

где . Отсюда

Матричный элемент

( — импульсы относительного движения) вычисляется по плоским волнам

с помощью формулы

В результате находим

После суммирования по поляризациям угловое распределение излучения дается множителем где — угол между направлением фотона к и вектором q, лежащим в плоскости рассеяния (см. (45,4а)).

После интегрирования по направлениям фотона

где — угол рассеяния. Наконец, интегрирование по дает

Для излучения в поле неподвижного кулонова центра эта формула совпадает с (92,16).

2. Найти в борновском приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух электронов.

Решение. Дипольное излучение в этом случае отсутствует, так что надо рассматривать квадрупольное излучение. В классической теории спектральное распределение полной интенсивности квадрупольного излучения дается формулой

где — тензор квадрупольного момента системы зарядов. Для двух электронов в системе их центра инерции

При переходе к квантовой теории компоненты Фурье надо заменить матричными элементами сказанное в § 45 о дипольном излучении), и принадлежащей нормировке волновых функций (плоских волн) получится — после деления на энергию фотона — сечение излучения с рассеянием электронов в интервал состояний

где — начальная скорость относительного движения; излучаемая частота

Оператор вычисляется путем трехкратного коммутирования с гамильтонианом

и равен)

С учетом тождественности обеих частиц (электронов) матричные элементы вычисляются по волновым функциям

где знаки «+» и «-» соответствуют суммарным спинам электронов 0 и 1 (перестановке электронов отвечает замена ).

Громоздкие вычисления приводят к следующей формуле для спектрального распределения излучения:

где — начальная энергия относительного движения электронов; сечение усреднено по значениям полного спина электронов. Эффективное торможение

(Б. К. Федюшин, 1952).

3. Определить энергию излучения, возникающего при испускании ядром нерелятивистского электрона в s-состоянии.

Решение. Волновая функция испущенного ядром электрона — расходящаяся сферическая -волна, нормированная на равный единице полный поток:

(см. III (33,14)). В качестве волновой функции конечного (после испускания фотона) состояния электрона выберем плоскую волну

Матричный элемент перехода

(интеграл вычисляется согласно (57,6а)). Энергия излучения получается из формулы (45,8), умноженной на и проинтегрированной по направлениям (что сводится к умножению на . В результате получим спектральное распределение излученной энергии

При конечная скорость электрона я эта формула совпадает, как и должно быть, с нерелятивистским пределом классического результата (см. задачу к II, § 69). Полная излученная энергия (в обычных единицах)

где — начальная энергия электрона.

4. Определить энергию излучения, возникающего при отражении нерелятивистского электрона от бесконечно высокой «потенциальной стенки».

Решение. Пусть электрон движется нормально к стенке. Хотя фотон может быть испущен в любом направлении, но поскольку в нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, можно считать, что и отраженный электрон будет двигаться нормально к плоскости стенки. Пусть стенка находится при а электрон движется со стороны Волновые функции стационарных состояний одномерного движения, нормированные на имеют вид стоячих волн (см. III, § 21):

Матричный элемент оператора

(интегралы такого вида надо понимать как предел при от значения, получающегося путем введения в подынтегральное выражение множителя ).

Энергия, излучаемая при однократном отражении электрона, получается из (45,8) умножением на и делением на (плотность потока бегущей к барьеру волны в начальной функция ):

При малых частотах имеем и (1) переходит в классическую формулу II (09,5) (которую надо илтегрировать по углам и учесть, что где — изменение скорости электрона при отражении); так и должно быть, поскольку при отражении от стенки условие малости времени столкновения II (69,1) во всяком случае выполняется. Квантовая формула (1) позволяет, однако, найти также и полную излучаемую энергию:

(в обычных единицах).

5. Определить энергию тормозного излучения при рассеянии медленного электрона на атоме.

Решение. При условии (где а — атомные размеры) рассеяние на атоме, изотропно и не зависит от энергии электрона (см. III, § 132). Волновые функции начального и конечного состояний электрона пишем в виде

где f — постоянная вещественная амплитуда рассеяния. Эти выражения относятся к асимптотической области расстояний , которые в данном случае как раз и существенны: Вычисленный по этим функциям матричный элемент

(интегралы вычисляются, как в задаче 3). Подставив это выражение в (92,12), получим сечение излучения с рассеянием электрона в направлении (обычные единицы):

где — дифференциальное сечение упругого рассеяния. При можно положить , и тогда эта формула переходит, как и следовало ожидать, в нерелятивистскую формулу для излучения мягких фотонов (см. § 98).

Интегрируя (1) по направлениям , получаем

где — полное сечение упругого рассеяния. Наконец, умножав на и проинтегрировав по от 0 до получим «эффективное торможение>