§ 101. Излучение фотона электроном в поле интенсивной электромагнитной волны

Применимость теории возмущений к процессам взаимодействия электрона с полем излучения предполагает (помимо малости константы взаимодействия а) также достаточную слабость этого поля. Если а — амплитуда классического 4-потенциала поля электромагнитной волны, то характерной величиной в этом смысле является безразмерное инвариантное отношение

(101,1)

В этом параграфе мы рассмотрим процессы излучения, возникающие при взаимодействии электрона с полем сильной электромагнитной волны, для которой I может иметь любое значение. Применяемый метод основан на точном учете этого взаимодействия; взаимодействие же электрона с новыми испускаемыми фотонами может по-прежнему рассматриваться как малое возмущение (А. И. Никишов, В. И. Ритус, 1964).

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, для определенности циркулярно поляризованную. Ее 4-потенциал напишем в виде

(101,2)

где -волновой 4-вектор а 4-амплитуды одинаковы по величине и взаимно ортогональны:

Будем предполагать потенциал калиброванным условием Лоренца, так что

Точная волновая функция для электрона в поле произвольной плоской электромагнитной волны была найдена в § 40 (см. формулы (40,7-8)). Изменим, однако, ее нормировку: потребуем, чтобы отвечала равной единице средней пространственной плотности числа частиц, — подобно тому как мы нормируем волновые функции свободных частиц на одну частицу в единичном объеме. Поскольку для функции (40,7) средняя плотность равна для получения требуемой нормировки надо умножить ее на т. е. заменить в (40,7) множитель на Для волны с 4-потенциалом (101,2) получим

(101,3)

где

Согласно (40,14) 4-вектор q — средний кинетический 4-импульс электрона; будем называть его квазиимпульсом.

Элемент 5-матрицы для перехода электрона из состояния в состояние с излучением фотона с 4-импульсом и 4-вектором поляризации

(101,5)

Подынтегральное выражение в (101,5) представляет собой линейную комбинацию величин

где

Вместе с множителем эти величины выделяют всю зависимость подынтегрального выражения от х.

Разложим их в ряды Фурье, обозначив коэффициенты разложения соответственно например:

Эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя согласно формулам:

(101,7)

где Функции связаны между собой соотношением

(101,8)

которое является следствием известного соотношения для функций Бесселя:

В результате матричный элемент (101,5) приобретает вид

довольно громоздкие выражения для амплитуд мы не станем здесь выписывать. Таким образом, представляет собой бесконечную сумму членов, каждому из которых соответствует закон сохранения

(101,10)

Поскольку

(101,11)

(ср. (40,15)), a , то равенство (101,10) возможно лишь для s член суммы описывает излучение фотона k за счет поглощения из волны s фотонов с 4-импульсами к. Из вида равенства (101,10) очевидно, что все кинематические соотношения, имевшие место для эффекта Комптона, будут относиться к рассматриваемым процессам, если заменить импульсы электрона квазиимпульсами q, а импульс падающего фотона — 4-вектором .

В частности, для частоты излучаемого фотона в системе отсчета, где электрон в среднем покоится ( имеем

(101,12)

где — угол между (ср. (86,8)). Можно сказать, что частоты со являются гармониками частоты .

В принятых нами обозначениях (§ 64) амплитуда процесса излучения гармоники совпадает с а выражение

(101,13)

дает соответствующую дифференциальную вероятность (отнесенную к единице времени).

Структура амплитуд подобна структуре амплитуд рассеяния с плоскими волнами: Поэтому и операции суммирования по поляризациям частиц производятся обычным образом. После суммирования по поляризациям конечных электрона и фотона и усреднения по поляризациям начального электрона получается

(10114)

Для интегрирования этого выражения замечаем, что ввиду аксиальной симметрии поля циркулярно поляризованной волны дифференциальная вероятность не зависит от общего азимутального угла вокруг направления к. Вместе с наличием -функции это обстоятельство дает возможность произвести интегрирование по всем переменным, кроме одной; в качестве последней выберем инвариантную величину Тогда после интегрирования по имеем

Действительно, в системе центра инерции (система, в которой ) указанное интегрирование дает где — угол между преобразование

С другой стороны, в этой же системе

Интервалу соответствует интервал

(при преобразованиях следует помнить, что )

Таким образом, полная вероятность излучения в единицу времени

(101.15)

где

(101.16)

При (условие применимости теории возмущений) подынтегральные выражения в (101,15) могут быть разложены по степеням Так, для первого члена разложения в получается

(101,17)

Как и должно быть, этот результат совпадает с формулой Клейна — Нишины для рассеяния фотона на электроне: положив в (101,17) и разделив на плотность падающего потока (64,14), мы вернемся к (86,16) (интегральное сечение рассеяния не зависит от начальной поляризации фотона)

Приведем также выражение для вероятности испускания второй гармоники (первый член разложения при

Вообще, основной член в (при не слишком больших s) пропорционален

Остановимся теперь на противоположном случае: . Параметр можно сделать большим, например, путем уменьшения частоты и при фиксированной напряженности поля (очевидно, что где F — амплитуда напряженности поля). Поэтому ясно, что случай по существу сводится к процессам в постоянном однородном поле, напряженности Е и Н которого взаимно перпендикулярны и равны по величине (назовем условно такое поле скрещенным). Вероятность излучения в этом поле можно получить предельным переходом но проще произвести вычисления сразу для постоянного поля, взяв -потенциал в виде

(101,19)

(так что ). Точная волновая функция электрона в этом поле получается подстановкой (101,19) в (40,7-8):

(101,20)

Получающийся с помощью этой функции результат является точным для излучения электрона в скрещенном поле при любой энергии электрона.

Но в ультрарелятивистском случае этот результат (при надлежащей форме его представления см. ниже) относится к излучению электрона не только в скрещенном, но и во всяком постоянном однородном электромагнитном поле, в том числе в постоянном магнитном поле (которое было рассмотрено в § 90).

Для формулировки этого утверждения заметим, что состояние частицы в произвольном постоянном однородном поле определяется столькими же квантовыми числами, что и состояние свободной частицы, и эти квантовые числа всегда можно выбрать так, чтобы при выключении поля они переходили в квантовые числа свободной частицы, т. е. в ее 4-импульс Таким образом, состояние частицы в постоянном поле будет описываться постоянным 4-вектором .

Полная интенсивность излучения, будучи инвариантной величиной, зависит лишь от инвариантов, которые можно составить из постоянных 4-тензора F и 4-вектора ». Учитывая также, что F должен входить в интенсивность только вместе с зарядом , получаем три безразмерных инварианта:

(101,21)

В скрещенном поле в то время как в общем случае отличны от нуля все три инварианта. Но если электрон - ультрарелятивистский а вектор составляет с полями Е, Н углы то (другими словами, для ультрарелятивистской частицы почти для всех направлений любое постоянное поле выглядит как скрещенное). Если, кроме того, напряженности поля то . В этих условиях интенсивность, вычисленная для скрещенного поля и выраженная через инвариант будет относиться также к излучению во всяком постоянном поле.

Инвариант выражается через напряженности Е, Н согласно

Для постоянного магнитного поля совпадает с введенной в § 90 величиной (90,3), так что изложенные здесь соображения дают другой способ получения результатов § 902).