ГЛАВА VII. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ

§ 64. Амплитуда рассеяния

Общая постановка задачи о столкновениях состоит в том, чтобы по заданному начальному состоянию системы (некоторая совокупность свободных частиц) найти вероятности различных возможных конечных состояний (другие совокупности свободных частиц). Если символ обозначает начальное состояние, то результат столкновения можно представить как суперпозицию

где суммирование производится по различным возможным конечным состояниям Коэффициенты этого разложения (или в краткой записи ) составляют матрицу рассеяния, или S-матрицу. Квадраты дают вероятности переходов в определенные состояния

В отсутствие взаимодействия между частицами состояние системы не менялось бы, чему соответствовала бы единичная -матрица (отсутствие рассеяния). Удобно всегда выделять эту единицу, представив матрицу рассеяния в виде

где — новая матрица. Во втором члене выделена четырехмерная -функция, выражающая закон сохранения 4-импульса — суммы -импульсов всех частиц в начальном и конечном состояниях); остальные множители введены для удобства в дальнейшем. В недиагональных матричных элементах первый член в (64,2) выпадает, так что для перехода элементы матриц S и Т связаны друг с другом соотношением

Матричные элементы остающиеся после выделения -функции, будем называть амплитудами рассеяния.

При возведении модулей в квадрат появится квадрат -функции.

Его надо понимать следующим образом, -функция возникает от интеграла

Если же вычислять другой такой же интеграл при (в силу наличия уже одной -функции), причем распространить интегрирование по некоторому большому, но конечному объему V и интервалу времени t, то получится Поэтому можно написать

Разделив на получим вероятность перехода в единицу времени

(64,5)

Каждая из свободных частиц (начальных и конечных) описывается своей волновой функцией — плоской волной с некоторой амплитудой и (для электрона это — биспинор, для фотона 4-вектор и т. п.). Амплитуда рассеяния имеет структуру вида

где слева стоят амплитуды волновых функций конечных, а справа — начальных частиц; Q есть некоторая матрица (по отношению к индексам компонент амплитуд всех частиц).

Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии имеется всего одна или две частицы. В первом случае речь идет о распаде, во втором — о столкновении двух частиц.

Рассмотрим сначала распад частицы на произвольное число других частиц с импульсами в элементе импульсного пространства (индекс а нумерует частицы в конечном состоянии, так что ). Число состояний, приходящихся на этот элемент (и на нормировочный объем V, есть

На эту величину надо умножить выражение (64,5):

При этом волновые функции всех частиц, используемые при вычислении матричного элемента, должны быть нормированы на одну частицу в объеме V. Так, для электрона это — плоская волна (23,1), для частицы со спином 1 — (14,12), для фотона — (4,3). Все эти функции содержат множитель где — энергия частицы. Однако в дальнейшем будет удобным условиться писать во всех вычислениях волновые функции частиц без этих множителей (которые включим в выражение для вероятности). Таким образом, электронная плоская волна будет

а фотонная волна

Вычисленную с такими функциями амплитуду рассеяния обозначим (в отличие от ) Очевидно, что

(64,10)

в знаменателе стоит по одному множителю на каждую начальную или конечную частицу.

В частности, для вероятности распада получим вместо (64,7)

(64,11)

где — энергия распадающейся частицы; нормировочный объем, как и должно быть, из этой формулы выпал

Придадим формуле (64,11) более законченный вид (устранив в ней -функции) для случая, когда распад происходит на две частицы (с импульсами и энергиями . В системе покоя распадающейся частицы так имеем

Первая -функция устраняется интегрированием по дифференциал же переписываем в виде

(64,12)

(в справедливости этой записи легко убедиться, заметив, что ). Интегрирование по устраняет вторую -функцию, и получается

(64,13)

Рассмотрим теперь столкновение двух частиц (с импульсами и энергиями ) с превращением их в совокупность произвольного числа частиц с импульсами . Вместо (64,11) получим теперь

Интересующей нас величиной в этом случае является, однако, не вероятность, а сечение Инвариантное (относительно преобразований Лоренца) сечение получается из делением на величину

где I обозначает 4-скаляр

(64,15)

(см. II, § 12). В системе центра инерции

(64,16)

так что

что совпадает с обычным определением плотности потока сталкивающихся частиц — их скорости).

Таким образом, находим для сечения формулу

(64,18)

Придадим этой формуле окончательный вид, исключив из нее -функцию для случая, когда в конечном состоянии тоже имеется всего две частицы. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. Пусть — полная энергия; — начальный и конечный импульсы. Устранение -функции производится так же, как и при выводе (64,13), и получается

(64,19)

(в частном случае упругого рассеяния, когда род частиц при столкновении не меняется, ).

Перепишем эту формулу еще и в другом виде, введя в нее инвариантную величину

(64,20)

где — угол между . В системе центра инерции импульсы определяются одной только полной энергией , и при заданном

(64,21)

Поэтому в (64,19) можно заменить

— азимут относительно . Таким образом,

(64,22)

(мы снова ввели инвариант 1 согласно (64,16)). Азимут а с ним и сечение в форме (64,22) инвариантны относительно преобразований Лоренца, не меняющих направление относительного движения частиц. Если сечение не зависит от азимута, формула (64,22) принимает особенно простой вид

Если одна из сталкивающихся частиц достаточно тяжела (и ее состояние в результате столкновения не меняется), то ее роль в процессе сводится к роли неподвижного источника постоянного поля, в котором рассеивается другая частица. В соответствии с тем, что в постоянном поле сохраняется энергия (но не импульс!) системы, при такой трактовке процесса столкновения представим элементы -матрицы в виде

(64,24)

В выражении для квадрат одномерной -функции должен пониматься как

Перейдя затем (как и при выводе (64,11)) к амплитуде вместо получим следующее выражение для вероятности процесса, в котором одна частица, рассеиваясь в постоянном поле, создает в конечном состоянии некоторое число других частиц:

Здесь снова — энергия начальной частицы, и — импульсы и энергии конечных частиц. Сечение же рассеяния получится делением на плотность потока где и — скорость рассеиваемой частицы. В результате нормировочный объем снова выпадает из ответа и получается

В частном случае упругого рассеяния в конечном состоянии имеется тоже одна частица с тем же (по величине) импульсом и той же энергией. Заменив и устранив интегрированием , получим сечение в виде

(64,26)

Наконец, если внешнее поле зависит от времени (скажем, поле системы частиц, совершающих заданное движение), то в -матрице отсутствует также и -функция от энергии. Тогда и после перехода от согласно (64,10) вероятность, например, процесса, в котором поле рождает определенную совокупность частиц, будет даваться формулой