§ 142. Мультипольные моменты адронов

Рассмотрим теперь ток перехода, соответствующий такой как (138,2), диаграмме

(142,1)

в которой, однако, линии отвечают различным частицам (массы фотонную линию будет удобнее, представлять здесь исходящей из вершины.

При этом фотон может быть теперь как виртуальным, так я реальным: должно быть лишь так что значение допустимо. Таким образом, применения рассматриваемой диаграммы включают в себя, в частности, процессы испускания фотона при превращениях частиц, в том числе ядер (в последнем случае начальной и конечной частицами является ядро в различных состояниях).

В связи с поставленным вопросом наиболее интересен случай, когда длина волны фотона велика по сравнению с характерными «размерами» частицы (т. е. размерами, входящими в ее формфакторы; для ядра они совпадают, конечно, с его «радиусом»). Тогда ток перехода может быть разложен по степеням

Отметим прежде всего, что должно быть

(142,2)

Действительно, пределу отвечает постоянный в пространстве и времени потенциал. Но такой потенциал не имеет физического значения и не может являться причиной каких-либо реальных процессов. К этому же выводу можно подойти и с более формальной точки зрения: рассмотренные в § 138 токи были отличны от нуля при за счет членов, пропорциональных 4-вектору но при произведение так что такие члены запрещены условием поперечности тока.

Запишем условие поперечности тока в трехмерном виде:

(142,3)

Этому условию можно удовлетворить двумя способами:

(142,4)

или

(142,5)

Здесь v — некоторый полярный, а — аксиальный векторы. В первом случае говорят о токе электрического, а во втором — магнитного типа. Согласно (142,2) v и а при к, остаются конечными или обращаются в нуль.

Пусть энергия фотона Тогда можно пренебречь эффектом отдачи и считать покоящейся (в системе покоя частицы ) также и конечную частицу при этом со становится заданной величиной: Состояния покоящихся частиц характеризуются трехмерными спинорами и рангов где — спины частиц.

Ток перехода должен быть билинейной комбинацией . Из произведений компонент этих спиноров можно составить неприводимые тензоры рангов (при заданном l это будет истинный или псевдотензор в зависимости от внутренних четностей частиц ). Кроме этих тензоров в нашем распоряжении имеется только вектор к. Чтобы построить первый член разложения тока по степеням к, надо с помощью этих величин составить вектор как можно более низкой степени по к. Мы достигнем этой цели, взяв тензор наименьшего ранга и умножив его скалярно раз на вектор к. Это и будет полярный вектор v или аксиальный вектор а.

Пусть — сферические компоненты тензора, составленного из волновых амплитуд частиц. Сферические же компоненты тензора ранга составленного из компонент к, равны где По общему правилу сложения сферических тензоров (см. III (107,3)) сферические компоненты вектора v можно написать в виде

где X пробегает значения 0, ±1 (о выборе общего множителя см. ниже). Используя формулы (7,16), можно выразить v через шаровые векторы:

Подставив в (142,4), найдем -ток перехода:

(мы различаем везде и , имея в виду возможные применения как к реальным, так и к виртуальным фотонам, для которых эти величины не совпадают).

В (142,7-8) подразумевается, что сферический тензор (обозначенный здесь ) — истинный тензор.

Если же это псевдотензор (в таком случае обозначим его ), то формула (142,6) определит псевдовектор а. Подстановка в (142,5) дает тогда -ток перехода:

(142,9)

Величины представляют собой адронные электрические и магнитные мультипольные моменты перехода. Их роль в алектродинамике адронов вполне аналогична роли соответствующих величин в электродинамике электронов. В то время, однако, как для электронных систем эти моменты могут быть, в принципе, вычислены по волновым функциям (как матричные элементы соответствующих операторов), в электродинамике адронов они выступают как феноменологические величины, значения которых находятся из опыта.

Нормировка этих величин в (142,7-9) выбрана в соответствии с их определением в § 46. В этом можно убедиться, рассматривая токи (142,7-9) как компоненты Фурье тока перехода в координатном представлении. Так, разложив множитель в интеграле

(142,10)

с помощью формулы (46,3), получим

Оставив здесь член с наименьшим I, для которого интеграл отличен от нуля, и заменив функцию при ее первым членом разложения (46,5), мы вернемся к формуле (142,9), причем

в срответствии с определением (46,7).

Покажем также, что при применении к испусканию реального фотона полученные формулы приводят к уже известным нам результатам.

Амплитуда перехода с испусканием фотона с импульсом и поляризацией :

(142,12)

Если в начальном и конечном состояниях ядро обладает определенным значением проекции момента то в сумме по в (142,7-9) остается лишь по одному члену:

Поскольку согласно (16,23) произведения или -спиральность фотона, ) пропорциональны мы возвращаемся к формулам, рассмотренным в § 48.

Дифференциальная вероятность излучения

— начальная и конечная энергия ядра). Полная вероятность получится суммированием по поляризациям и интегрированием по Подставив (142,7) или (142,9) в (142,12) и затем в (142,13) и произведя указанные действия, мы вернемся к формуле (46,9) (или (47,2)).

Формулы (142,7-9) включают в себя все случаи, которые могут иметь место для испускания реального фотона. Для виртуальных же фотонов возможен еще и другой случай, не описываемый этими формулами (R. Н. Fowler, 1930).

Если спины и четности начального и конечного состояний ядра одинаковы, то из их волновых амплитуд можно составить скаляр а с его помощью — ток перехода вида

(142,14)

Величину называют монопольным моментом перехода. Для испускания реального фотона соответствующая амплитуда перехода обращается в нуль (так как Монопольный ток, однако, может быть источником переходов, связанных с испусканием виртуального фотона. Более того, он является единственным таким источником при когда все мультипольные моменты равны нулю.

По своей зависимости от и и к монопольный ток (142,14) аналогичен электрическому квадрупольному. Соответственно и момент представляет собой величину того же порядка, что и квадрупольный момент. К этому заключению можно прийти также и путем истолкования (142,14) как компоненты Фурье тока в координатном представлении. Разложив в (142,10) множитель по степеням и положив функцию сферически-симметричной, получим

Сравнив с (142,14), найдем

(142,15)

Сходство этой величины с квадрупольным моментом очевидно.

Задачи

1. Найти вероятность ионизации атома из -оболочки за счет энергии возбуждения ядра (так называемая внутренняя конверсия узлучения) при ядерном -переходе в пренебрежении энергией связи электрона в атоме и влиянием поля ядра на его волновые функции.

Решение. Процесс описывается диаграммой

где относятся к неподвижному ядру в различных состояниях, а -импульсы начального и конечного электронов. Этой диаграмме отвечает амплитуда

где — ток перехода ядра. После суммирования по конечным и усреднения но начальным поляризациям электрона получим

(использовано, что и поэтому Вероятность конверсии вычисляется как

где — сечение рассеяния, изображенного диаграммой (1) с — волновая функция атомного электрона; для -электрона

Множитель 2 учитывает два электрона в С-оболочке атома. Сечение вычисляется как

(ср. примеч. на с. 713).

Для -переходов ток I надо взять из (142,9). Интегрирование по устраняет -функцию, а интегрирование по обращает квадрат . В результате вероятность конверсии окажется выраженной через квадрат Но через эту же величину выражается согласно (46,9) вероятность спонтанного излучения фотона при том же ядерном переходе. Окончательно получается

(это отношение называют коэффициентом конверсии),

2. То же для ядерного перехода.

Решение. Тем же способом с током перехода из (142,7-8) получается

3. To же для монопольного перехода ядра.

Решение. С током перехода из (142,14) получается

Поскольку монопольное испускание фотона невозможно, исключить отсюда нельзя.