§ 81. Рассеяние электронов и позитронов на электроне

Рассмотрим рассеяние электрона на электроне: два электрона с 4-импульсами сталкиваются, приобретая 4-импульсы Сохранение 4-импульса выражается равенством

Ниже мы будем пользоваться введенными в § 66 кинематическими инвариантами, определенными согласно

Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (73,13-14), и его амплитуда

Согласно указанным в § 65 правилам для состояний начальных и конечных частиц, описывающихся поляризационными матрицами плотности заменяем

Для рассеяния неполяризованных электронов (не интересуясь при этом их поляризацией после рассеяния) мы должны положить для всех матриц плотностей умножив результат на (усреднение по поляризациям двух начальных и суммирование по поляризациям двух конечных электронов). Сечение рассеяния определяется формулой (64,23), в которой надо положить согласно (64,15а) . Представим сечение в виде

сначала вычисляются следы (с помощью (22,9-10)), а затем производится суммирование по ; в сначала производится суммирование по и v (с помощью формул {22,6)). В результате получим

или, выразив функции f и g через инварианты (81,2),

Таким образом, сечение

где

Применим эту формулу в системе центра инерции. Здесь

— величина импульса и энергия электронов, не меняющиеся при рассеянии; — угол рассеяния). В нерелятивистском случэб (в ) получим

( — относительная скорость электронов) в согласии с нерелятивистской теорией (см. III, § 137). В общем случае произвольных скоростей формула (81,7) после подстановки (81,8) и простых преобразований может быть приведена к виду

(81,10)

(Ch. Moller, 1932). В ультрарелятивистском случае )

(81,11)

В лабораторной системе отсчета, в которой один из электронов (скажем, второй) до столкновения покоился, выразим сечение через величину

— энергию (в единицах от), переданную налетающим (первым) электроном второму. Инварианты

Подстановка этих выражений в (81,7) приводит к следующей формуле для распределения по энергиям вторичных электронов (или, как говорят, -электронов), возникающих при рассеянии быстрых первичных электронов:

где — кинетические энергии двух электронов после столкновения; тождественность обеих частиц проявляется здесь в симметрии формулы по отношению к этим величинам. Если условиться называть электроном отдачи тот из них, который имеет меньшую энергию, то А будет пробегать значения от 0 до При малых А формула (81,14) принимает вид

(81,15)

Отметим, что эта формула, выраженная через скорость налетающего электрона сохраняет свой вид при переходе к нерелятивистскому случаю. Естественно поэтому, что она по форме совпадает с результатом нерелятивистской теории (ср. III (148,17)).

Рассмотрим теперь рассеяние позитрона на электроне (Н. Bhabha, 1936). Это — другой кросс-канал той же обобщенной реакции, к которой относится рассеяние электрона на электроне. Если — начальные, а — конечные импульсы электрона и позитрона, то переход от одного случая к другому осуществляется заменой

При этом кинематические инварианты (81,2) приобретают следующий смысл:

(81,16)

Если - рассеяние было -каналом, то ее рассеяние есть -канал реакции. Квадрат амплитуды рассеяния, выраженный через s, t, u, остается прежним, а в знаменателе формулы (81,5) надо заменить Таким образом, для сечения рассеяния позитрона на электроне получим вместо (81,7)

(81,17)

В системе центра инерции значения инвариантов s, t, u отличаются от (81,8) перестановкой s и u:

(81,18)

В нерелятивистском пределе формула (81,17) сводная к формуле Резерфорда

(81,19)

где Она получается из первого члена в фигурных скобках в (81,17), происходящего от диаграммы «рассеивательного» типа (см. § 73). Вклады же от «аннигиляционной» диаграммы (второй член в (81,17)) и от ее интерференции с рассеивательной диаграммой (третий член) в нерелятивистском пределе обращаются в нуль.

В общем случае произвольных скоростей вклады всех трех членов в (81,17) — одного порядка величины (лишь в области малых углов первый член преобладает благодаря множителю

После приведения подобных членов можно представить сечение рассеяния позитрона на электроне (в системе центра инерции) в виде

Симметрия по отношению к замене , характерная для рассеяния тождественных частиц, при рассеянии позитрона на электроне, разумеется, отсутствует. В ультрарелятивистском пределе выражение (81,20) отличается от электрон-электронного сечения лишь множителем :

(81,21)

В лабораторной системе отсчета, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, снова вводим величину

т. е. энергию, передаваемую позитроном электрону. Аналогично (81,13) имеем теперь

Подставив эти выражения в (81,17), после простых преобразований получим следующую формулу для распределения вторичных электронов по энергиям:

где пробегает значения от 0 до . При из (81,23) получается та же формула (81,15), что и для рассеяния электронов.

Поляризационные эффекты при рассеянии электронов или розитронов вычисляются по общим правилам, изложенным в § 65. В сколько-нибудь общих случаях вычисления приводят к громоздким формулам. Здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями.

В рассматриваемом (первом не исчезающем) приближении теории возмущений в сечении отсутствуют члены, линейные по векторам поляризации начальных или конечных частиц.

Как и в нерелятивистской теории (см. III, § 140), такие члены запрещены требованиями, вытекающими из эрмитовости матрицы рассеяния. Поэтому сечение рассеяния не меняется, если поляризована лишь одна из сталкивающихся частиц, а рассеяние неполяризованных частиц не приводит к их поляризации.

Эти же требования запрещают корреляционные члены в сечении, содержащие произведения поляризаций трех из участвующих в процессе (начальных и конечных) частиц. Сечение содержит, однако, двойные и четверные корреляционные члены. При рассеянии неодинаковых частиц (электрон и позитрон, электрон и мюон) в нерелятивистском пределе эти члены обращаются в нуль, поскольку отсутствует спин-орбитальное взаимодействие. При столкновении же одинаковых частиц корреляционные члены имеются уже в нерелятивистском случае благодаря обменным эффектам.

Задачи

1. Определить сечение рассеяния поляризованных электронов в нерелятивистском случае.

Решение. В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды в стандартном представлении становятся двухкомпонентными, а матрицы плотности — двухрядными матрицами (29,20). В амплитуде рассеяния (81,3) остаются отличными от нуля лишь члены с содержащие диагональные (в стандартном представлении) матрицы Вместо (81,4) будем иметь

(суммирование по поляризациям конечных электронов). Отсюда сечение рассеяния

где — угол рассеяния в системе центра инерции, о — сечение для неполяризованных частиц (81,9). Для полностью поляризованных электронов эта формула совпадает с результатом задачи в III, § 137 (при этом угол между направлениями поляризации электронов).

Для рассеяния позитронов на электронах поляризационная зависимость в том же приближении отсутствует в этом легко убедиться, заметив, что в нерелятивистском пределе в электронных и позитронных амплитудах отличны от нуля различные пары компонент.

2. В нерелятивистском случае определить поляризацию рассеянных электронов при рассеянии неполяризованиого пучка на поляризованной мишени.

Решение. Вычисляем сечение рассеяния при заданных начальной поляризации и детектируемой конечной поляризации (детектируется поляризация лишь одного из конечных электронов).

Тем же способом, что и в задаче 1, получим

Отсюда для вектора поляризации рассеянного электрона имеем

3. В нерелятивистском случае определить вероятность обращения направления спина полностью поляризованного электрона при рассеянии на неполяризованном электроне.

Решение. Аналогичным образом находим сечение при заданных поляризациях :

Положив найдем отсюда вероятность обращения направления спина:

Определить отношение сечений рассеяния спиральных электронов с параллельными и антипараллельными спинами в ультрарелятивистском случае.

Решение. В (81,4) надо положить согласно (29,22)

где Вычисление следов производится по приведенным в § 22 формулам; в частности,

В результате получим

Поскольку импульсы сталкивающихся электронов (в системе центра инерции) взаимно противоположны, то одинаковым спиральностям отвечают антипараллельные спины, а различным спиральностям параллельные спины. Подставив s, t, u из (81,8) (причем ), найдем для искомого отношения

Это отношение минимально при

5. То же для рассеяния позитронов на электронах.

Решение. В этом случае вместо (81,4) надо вычислять

(остальные члены получаются из написанных перестановкой ) Матрицы плотности:

где (причем для позитрона, как и для электрона, означает спин, направленный по его импульсу). Вычисление дает

Отсюда для отношения сечений получается результат, совпадающий с формулой (1) задачи 4.

6. Определить сечение рассеяния мюонов на электронах.

Решение. Процесс описывается всего одной диаграммой (73,17). Вместо (81,5) имеем

— начальные и конечные 4-импульсы электрона и мюона; , — их массы). Инварианты:

Вычисление приводит к результату

Формулы (1) и (2) решают поставленный вопрос. В системе центра инерции

где — энергии электрона и мюона; При мы возвращаемся к формуле (80,9) для рассеяния на неподвижном кулоновом центре.

В ультрарелятивистском случае

В лабораторной системе (в которой до столкновения покоится электрон):

Здесь — энергия, — скорость налетающего мюона; энергия электрона отдачи, а

максимальное значение .

7, Определить отношение сечений взаимного рассеяния спиральных электронов и мюонов с параллельными и антипараллельными. спинами в ультрарелятивистском случае .

Решение, Аналогично задаче 4 находим

( — угол рассеяния в системе центра инерции).

8. Определить сечение превращения электронной пары в мюонную (В. Б. Берестецкий, И. Я. Померанчук, 1955).

Решение. Это другой кросс-канал реакции, к которой относится -рассеяние. В этом канале

где — 4-импульсы электрона и позитрона, а — 4-импульса мюона и антимюона. Порог реакции отвечает энергии электронной пары, равной (в системе центра инерции) так что должно быть . В лабораторной системе, в которой до столкновения покоится электрон, а позитрон имеет энергию

так что должно быть где пороговая энергия (здесь и ниже произведены все пренебрежения, допускаемые неравенством ). Дифференциальное сечение (вместо (1), (2) задачи 6)

При заданном t величина s пробегает значения между границами, определяемыми уравнениями т. е.

Элементарное интегрирование приводит к результату)

(в лабораторной системе ). Эта формула неприменима в непосредственной близости к порогу: когда образующиеся мюоны нельзя считать свободными частицами (с учетом же кулонова взаимодействия между ними сечение будет стремиться при не к нулю, а к константе — см. III, § 147).

Сечение (1) максимально при Его значение в максимуме примерно в 20 раз меньше сечения двухфотонной аннигиляции при той же энергии.