ГЛАВА XI. ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ

§ 102. Операторы полей в гейзенберговском представлении

До сих пор при рассмотрении различных конкретных электродинамических процессов мы ограничивались первым неисчезающим приближением теории возмущений. Перейдем теперь к изучению эффектов, возникающих при учете высших приближений. Эти эффекты носят название радиационных поправок.

Более глубокое понимание структуры высших приближений может быть достигнуто на основе предварительного изучения общих свойств, которыми обладают точные (т. е. не разложенные по степеням ) амплитуды рассеяния. Мы видели (см. § 72), что последовательные члены ряда теории возмущений выражаются через операторы полей в представлении взаимодействия операторы, временная зависимость которых определяется гамильтонианом системы свободных частиц Точные же амплитуды рассеяния более удобно выражать через операторы поля не в этом, а в гейзенберговском представлении, в котором зависимость от времени определяется сразу точным гамильтонианом системы взаимодействующих частиц .

По общему правилу составления гейзенберговских операторов имеем

(102,1)

и так же для причем — не зависящие от времени (шредингеровские) операторы. Сразу же отметим, что гейзенберговские операторы, взятые в одинаковые моменты времени, удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы в шредингеровском представлении или в представлении взаимодействия. Действительно, имеем, например,

(102,2)

(ср. (75,6)).

Аналогичным образом операторы коммутативны:

(в различные моменты времени это уже отнюдь не так!).

«Уравнение движения», которому удовлетворяет гейзенберговский оператор, можно получить по общей формуле III (13,7):

(102,3)

Для гамильтониана шредингеровское и гейзенберговское представления тождественны, причем гамильтониан выражается одинаковым образом через операторы полей в обоих этих представлениях. В данном случае при вычислении правой стороны в (102,3) можно опустить в гамильтониане часть, зависящую только от оператора (гамильтониан свободного электромагнитного поля), поскольку эта часть коммутативна с Согласно (21,13) и (43,3) имеем

(102,4)

Вычислив коммутатор с помощью (102,2) и устранив -функцию интегрированием по получим

(102,5)

Как и следовало ожидать, оператор удовлетворяет уравнению, формально совпадающему с уравнением Дирака.

Уравнение же для оператора электромагнитного поля очевидно из соответствия с классическим случаем. В этом случае (большие числа заполнения — см. § 5) после усреднения по состоянию поля операторное уравнение должно перейти в классическое уравнение Максвелла для потенциалов II (30,2). Поэтому ясно, что уравнение для оператора просто совпадает по форме с уравнением Максвелла, т. е. (при произвольной калибровке) имеем

(102,6)

где — оператор тока, тождественно удовлетворяющий уравнению непрерывности

(102,7)

Существенно, что уравнения (102,6) линейны по и и потому не возникает вопрос о порядке следования этих операторов.

Как и аналогичные уравнения для волновых функций, система операторных уравнений (102,6-7) инвариантна относительно калибровочного преобразования

где -произвольный эрмитов оператор, коммутирующий (в один и тот же момент времени) с

Установим теперь связь между операторами в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия. Для упрощения рассуждений удобно сделать формальное предположение (не сказывающееся на окончательном результате), что взаимодействие адиабатически «включается» от к конечным временам. Тогда при оба представления — гейзенберговское и представление взаимодействия — просто совпадают. Совпадают и соответствующие волновые функции системы

(102,9)

С другой стороны, волновая функция в гейзенберговском представлении от времени вообще не зависит (вся временная зависимость перенесена на операторы), а в представлении взаимодействия для зависимости волновой функции от времени имеем согласно (72,7)

(102,10)

где введен оператор

(102,11)

с очевидными свойствами

(102,12)

Сравнив формулы (102,10) и (102,9), найдем соотношение

(102,13)

устанавливающее связь между волновыми функциями в обоих представлениях.

Соответственно формула преобразования операторов:

(102,14)

(то же самое для ).

Сделаем в заключение еще одно общее замечание. Мы уже неоднократно указывали, что в релятивистской квантовой теории физический смысл операторов поля весьма ограничен из-за бесконечности нулевых флуктуаций. Это тем более относится к операторам в гейзенберговском представлении, которые фактически содержат в себе еще и расходимости, связанные с взаимодействием. В этой главе § 102—109 посвящены изложению формальной теории, в которой вопросы устранения этих бесконечностей не обсуждаются и действия со всеми величинами производятся так, как если бы они были конечными. Получаемые таким образом результаты имеют преимущественно эвристическую ценность: они позволяют более глубоко уяснить смысл разложений теории возмущений; возможно также, что они сохранятся в каком-то виде и в будущей теории, свободной от нынешних затруднений.