§ 129. Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного поля

При квантовании электрон-позитронного поля (см. § 25) мы видели, что в выражении для энергии вакуума появляется бесконечная постоянная, которую можно записать в виде

(129,1)

где — отрицательные частоты решений уравнения Дирака. Сама по себе эта постоянная не имеет физического смысла, так как энергия вакуума равна нулю по определению.

С другой стороны, при наличии электромагнитного поля уровни энергии будут меняться. Эти изменения конечны и имеют определенный физический смысл. Они описывают зависимость свойств пространства от поля и меняют уравнения электромагнитного поля в вакууме.

Изменение уравнений поля выражается в изменении его функции Лагранжа. Плотность L функции Лагранжа является релятивистским инвариантом и потому может быть функцией лишь от инвариантов . Обычное выражение

(129,2)

есть первый член разложения общего выражения по степеням инвариантов.

Мы найдем функцию Лагранжа в случае, когда поля Е и Н настолько медленно меняются в пространстве и времени, что их можно считать однородными и постоянными; тогда L не содержит производных от полей. На формулировке необходимых для этого условий мы остановимся в конце параграфа.

Однако для того чтобы поставленная задача имела смысл, необходимо еще предполагать электрическое поле достаточно слабым. Дело в том, что однородное электрическое поле может рождать из вакуума пары. Рассмотрение поля самого по себе как замкнутой системы допустимо, лишь если вероятность образования пар достаточно мала. Именно, должно быть

(изменение энергии заряда на расстоянии должно быть мало по сравнению с ). Мы увидим ниже (см. также задачу 2), что в таком случае вероятность образования пар экспоненциально мала.

Если наряду с электрическим полем имеется также и магнитное, то, вообще говоря, можно выбрать систему отсчета, в которой Е и Н параллельны. Тогда магнитное поле не влияет на движение заряда в направлении Е. Именно в этой системе (выбор которой будет подразумеваться в дальнейших вычислениях) должно выполняться условие (129,3).

Вычисление функции Лагранжа начнем с определения изменения W энергии вакуума. Величина W дается изменением за счет поля «нулевой энергии» (129,1). Из этой величины, однако, надо еще вычесть средние значения потенциальной энергии электронов в «состояниях» с отрицательной энергией. Последнее вычитание означает просто, что полный заряд вакуума по определению равен нулю.

Нулевая энергия при наличии поля:

где - отрицательно-частотные решения уравнения Дирака данном поле. Будем предполагать, что интегрирование ведется по единичному объему, а волновые функции нормированы на 1 в этом объеме; тогда есть энергия единицы объема. Согласно сказанному выше из надо вычесть величину

где — потенциал однородного поля. Но согласно теореме о дифференцировании оператора по параметру (см. III (11,16))

Таким образом, окончательно полное изменение плотности энергии вакуума

Свяжем W с изменением плотности лагранжиана Для этого воспользуемся общей формулой

где q — «обобщенные координаты» поля (см. II, § 32). Для электромагнитного поля роль величин q играют потенциалы А и <р. Поскольку

(129,6)

то из числа «скоростей» q в L входит лишь А, а дифференцирование по А эквивалентно дифференцированию по Е. Поэтому

(129,7)

Сравнив (129,5) и (129,7), найдем

Таким образом, вычисление V сводится к вычислению суммы (129,1).

Рассмотрим сначала случай, когда имеется лишь магнитное поле.

«Отрицательные» уровни энергии электрона (заряд в постоянном однородном поле

(129,9)

(см. задачу к § 32). Для вычисления суммы учтем, что число состояний 6 интервале есть

(см. III, § 112); первый множитель есть число состояний с различными значениями от которых энергия не зависит. Кроме того, все уровни, за исключением лишь уровня с двукратно вырождены: совпадают уровни с , Поэтому

(129,10)

Расходимость интегралов в (129,10) устраняется при вычислении L (129,8) вычитанием значения суммы при Для проведения этой «перенормировки» удобно вычислить сначала сходящееся выражение

Суммирование в фигурных скобках можно свести к суммированию геометрической прогрессии следующим способом:

Для нахождения L надо теперь дважды проинтегрировать Ф по после чего вычесть значение получающейся величины при Находим

(129,12)

где зависят от Н, но не зависят от

Из соображений размерности и четности по Н очевидно, что U как функция от Н и должна иметь вид

Поэтому членов, нечетных по в L вообще не может быть, так что Коэффициент же определяется из условия, чтобы разложение V по степеням начиналось с члена Действительно, член в V означал бы просто изменение коэффициента в исходном лагранжиане Но это было бы, по существу, изменением определения напряженности поля, а тем самым и заряда. Поэтому устранение членов означает перенормировку заряда. Легко проверить, что для этого надо положить

Наконец, произведя еще в (129,12) замену переменной получим окончательно

(129,13)

где

Вернемся к общему случаю, когда наряду с магнитным имеется также и параллельное ему электрическое поле Е, удовлетворяющее условию (129,3).

Для вычисления V в этом случае нет, однако, необходимости решать заново задачу об определении уровней энергии электрона в поле. Достаточно заметить, что если искать волновую функцию — решение уравнения второго порядка (32,7) — в виде произведения

где волновая функция в магнитном поле при то масса и поле Н войдут в уравнение для лишь в комбинации

Если теперь учесть, что суммирование по (от которого уровни энергии не зависят) по-прежнему дает множитель то из соображений размерности величину

можно записать в виде

(каждый член этой суммы есть производная просуммированная по всем квантовым числам, кроме ). Здесь -неизвестная пока функция, которую мы найдем из соображений релятивистской инвариантности.

Действительно, Ф должно быть функцией скаляров

Поэтому

Но функция получается из (129,11) заменой после переобозначения переменной интегрирования найдем

(129,15)

Сравнив это выражение с пределом , вычисленным мы сможем найти функцию

Переход к пределу в (129,14) производится путем замены суммирования по интегрированием по

Приравняв выражения (129,15) и (129,16) и продифференцировав это равенство по , получим

После этого суммирование в (129,14) снова сводится к суммированию геометрической прогрессии, и дальнейшие вычисления аналогичны произведенным выше: выражаем Ф через , интегрируем дважды по вычитаем значение при и определяем постоянные интегрирования, как при выводе (129,13). Окончательный результат:

(129,17)

Параметры а и можно записать в инвариантном виде

(129-18)

где ЗГ и обозначают инварианты

(129,19)

После того как формула (129,17) выражена через инварианты ЯГ и она тем самым становится применимой в произвольной системе отсчета (а не только в той, где ).

Сразу же отметим несколько условный характер записи формулы (129,17). Она пригодна лишь при соблюдении условия малости электрического поля: (129,3) (не учтенного в (129,17) в явном виде). Это проявляется в том, что подынтегральное выражение в (129,17) имеет полюсы при , так что в написанном виде интеграл, строго говоря, не имеет смысла. Поэтому (129,17) может, по существу, служить лишь для получения членов асимптотического (см. ниже) ряда по степеням а путем формального разложения .

Математически интегралу (129,17) можно придать смысл, обходя полюсы в плоскости комплексного . При этом у L, а тем самым и у плотности энергии W появляется мнимая часть. Комплексность энергии, как обычно, означает квазистационарность состояния 1). В данном случае стационарность нарушается рождением пар, а величина есть вероятность w рождения пары в единице объема в единицу времени; так как малые добавки к W и L отличаются только знаком, вероятность w, выраженная через Е и Н, равна просто

(129,20)

Очевидно, что она пропорциональна (см. ниже (129,22)). Именно вследствие экспоненциальной малости при имеет смысл асимптотический ряд по степеням а с сохранением в нем любого конечного числа членов.

Рассмотрим предельные случаи формулы (129,17). В слабых полях первые члены разложения:

В частности, при относительная поправка

Мнимая часть L при получается из интеграла (129,17) взятием полувычета в ближайшем к нулю полюсе котангенса, т. е. при . Согласно (129,20) она дает вероятность рождения пары слабым электрическим полем:

или, в обычных единицах:

В сильном магнитном поле исходим из формулы (129,13), записанной (после замены ) в виде

При в этом интеграле существенна область . В ней и можно пренебречь вторым членом в скобках» а интеграл обрезать (с логарифмической точностью) на пределах . Тогда

(129,23)

(более точное вычисление заменяет на . В этом случае

Отсюда видно, что радиационные поправки к уравнениям поля могли бы достигнуть относительного порядка единицы лишь в экспоненциально больших полях:

(129,24)

Тем не менее вычисленные поправки имеют смысл: они нарушают линейность уравнений Максвелла и тем самым приводят к наблюдаемым, в принципе, эффектам (например, к рассеянию света на свете или во внешнем поле).

Связь напряженностей Е и Н с потенциалами А и остается, по определению, прежней (129,6). Поэтому не меняется также и первая пара уравнений Максвелла:

(129,25)

Вторая же пара уравнений получается путем варьирования действи

по А и Они могут быть записаны в виде

(129,26)

где введены обозначения:

(129.28)

По форме уравнения (129,25-27) совпадают с макроскопическими уравнениями Максвелла для поля в материальной среде).

Отсюда видно, что величины имеют смысл векторов электрической и магнитной поляризации вакуума.

Отметим, что Р и М обращаются в нуль для поля плоской волны, в котором, как известно, оба инварианта и ЕН равны нулю. Другими словами, для плоской волны нелинейные поправки в вакууме отсутствуют.

Остановимся, наконец, на условиях применимости полученных формул. Для того чтобы поля можно было считать постоянными, их относительные изменения на расстояниях или промежутках времени должны быть малы; этим обеспечивается малость связанных с производными поправок к по сравнению с самим Так, если поле зависит только от времени, это приводит к естественному условию

(129,29)

Для случая слабого поля, однако, имеется и более жесткое условие. Оно возникает из требования, чтобы член четвертого порядка (129,21) был велик по сравнению с квадратичной по производным поправкой к в противном случае этот член потерял бы смысл. Так, для электрического поля, зависящего только от времени, это приводит к условию

(129,30)

более жесткому, чем (129,29).

Условие (129,30) не возникает, однако, при решении задачи о рассеянии фотона на фотоне, рассмотренной в последнем разделе § 127. Там мы с самого начала интересуемся только четырехфотонным процессом, описываемым членами четвертого порядка в функции Лагранжа, и вопрос об относительном значении других членов в V не имеет отношения к делу. Поэтому достаточно было потребовать выполнения лишь условия (129,29).

Задачи

1. Определить поправку к полю малого неподвижного заряда ей связанную с нелинейностью уравнений Максвелла.

Решение. При имеем из (129,21):

В центрально-симметричном случае из (129,27) находим

(2)

(постоянная определена из условия, что при поле совпадает с кулоновым полем заряда ).

Приближенно решая (2), получаем

или

Нелинейную по , поправку в (3) следует отличать от линейной поправки в (114,6), связанной в конечном счете с неоднородностью кулонова поля. Поправка (3) более высокого порядка по а, но медленнее убывает с расстоянием и быстрее растет с увеличением

2. Непосредственно оценить вероятность рождения пары в слабом однородном постоянном электрическом поле в квазиклассическом приближении с экспоненциальной точностью (F. Sauter, 1931).

Решение. Движение в слабом поле Е (медленно меняющийся потенциал ) квазиклассично. Поскольку в амплитуду реакции-волновая функция конечного позитрона входит в виде начальной «отрицательно-частотной» функции, рождение пары можно рассматривать как переход электрона из «отрицательно-частотного» в «положительно-частотное» состояние. В первом из них при наличии поля квазиклассический импульс определяется равенством

а во втором

Переход из первого состояния во второе есть переход через потенциальный барьер (область мнимого ), разделяющий области зависимостей (1) и (2) с вещественными при заданном . Границы этого барьера лежат при т. е.

Вероятность перехода через квазиклассический барьер

откуда

в согласии с (129,22).