§ 107. Уравнения Дайсона

Точные пропагаторы и вершинная часть связаны между собой определенными интегральными соотношениями. Их происхождение становится в особенности ясным из диаграммного метода.

Введенное в предыдущем параграфе понятие о неприводимости или приводимости распространяется не только на вершинные части, но и на любые другие диаграммы (или их части). Рассмотрим с этой точки зрения компактные собственно-энергетические электронные диаграммы.

Легко сообразить, что из всего бесконечного множества этих диаграмм лишь одна неприводима; это — диаграмма второго порядка

Всякое усложнение этой диаграммы может рассматриваться как введение дальнейших поправок к ее внутренним (электронной или фотонной) линиям или же к одной из ее вершин. При этом существенно, что в силу очевидной симметрии диаграммы все вершинные поправки достаточно приписывать лишь к одной (любой) из ее двух вершин.

Поскольку, таким образом, из всех компактных собственноэнергетических электронных частей лишь одна неприводима, совокупность всех таких частей (т. е. массовый оператор ) изобразится всего одной скелетной диаграммой:

(107,1)

Записанное в аналитическом виде, это графическое равенство дает

(107,2)

Аналогичное выражение может быть написано и для поляризационного оператора Среди фотонных компактных собственно-энергетических частей тоже лишь одна неприводима, так что представляется всего одной скелетной диаграммой:

Соответствующее аналитическое равенство:

(107,4)

(биспинорные индексы в (107,2) и (107,4) опущены).

Соотношения (107,2) и (107,4) называют уравнениями Дайсона. Их можно получить также и прямым аналитическим вычислением.

Так, для вывода уравнения (107,2) рассмотрим величину

— оператор дифференцирования по Она вычисляется с помощью (102,5) точно так же, как это было сделано в § 75 при выводе уравнения (75,7) для пропагатора свободных частиц. В результате получим

-функционный член в правой стороне этого равенства такой же, как в (75,7), поскольку коммутационные соотношения при для -операторов в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия одинаковы. Первый же член есть так что можно написать (снова опуская биспинорные индексы):

(107,5)

Для перехода к компонентам Фурье замечаем, что если проинтегрировать определение (106,3) по то получим

(107,6)

откуда видно, что интеграл в левой стороне представляет собой компоненту Фурье функции Таким образом, взяв компоненту Фурье от обеих сторон уравнения (107,5), использовав затем определение (106,9) и вспомнив, что получим

Наконец, умножив это равенство справа на придем вновь к уравнению 107,2).