§ 23. Плоские волны

Состояние свободной частицы с определенными значениями импульса и энергии описывается плоской волной, которую представим в виде

Индекс указывает значение 4-импульса; амплитуда волны — определенным образом нормированный биспинор.

При дальнейшем проведении вторичного квантования нам понадобятся, наряду с волновыми функциями (23,1), также и функции с «отрицательной частотой», возникающие в релятивистской теории, как было объяснено в § И, в связи с двузначностью корня . Как и в § 11, мы будем везде понимать под положительную величину так что «отрицательная частота» есть ; изменив также знак , мы получим функцию, которую естественно обозначить как

Смысл этих функций выяснится в § 26. Ниже мы будем параллельно выписывать формулы для

Компоненты биспинорных амплитуд удовлетворяют системам алгебраических уравнений

получающимся подстановкой (23, 1—2) в уравнение Дирака (что сводится к замене в последнем оператора на )

Соотношение является при этом условием совместности каждой из этих систем. Мы будем всегда нормировать биспинорные амплитуды инвариантными условиями

(черта над буквой обозначает, как везде, дираковское сопряжение: Умножив уравнения (23,3) слева на , получим откуда видно, что

Отметим, что переход от формул для к формулам для производится путем изменения знака .

4-вектор плотности тока:

, где — скорость частицы. Отсюда видно, что функции нормированы «на одну частицу в объеме

В силу уравнений (23,3) компоненты амплитуды волны связаны друг с другом некоторыми соотношениями, конкретный вид которых зависит, конечно, от выбора представления Найдем их для стандартного представления.

Из уравнений (21,19) имеем для плоской волны

Из этих равенств находим соотношение между в двух эквивалентных видах:

(эквивалентность этих формул очевидна: умножая первую из них слева на и учитывая, что получаем вторую). Общий же множитель в выбираем таким образом, чтобы удовлетворить условию нормировки (23,4). В результате получим для (и аналогично для ) следующие выражения:

(вторая формула получается из первой изменением знака перед и переобозначением ).

Здесь — орт вектора , а w — произвольная двухкомпонентная величина, удовлетворяющая лишь условию нормировки

(23,10)

Для из (21,20)) имеем

и перемножением убеждаемся, что действительно . В системе покоя, т. е. при имеем

(23,12)

т. е. w представляет собой тот 3-спинор, к которому сводятся в нерелятивистском пределе амплитуды каждой из волн. Отметим, что в биспиноре обращаются в нуль в системе покоя первые, а не вторые две компоненты. Это свойство решений уравнения Дирака с «отрицательными частотами» очевидно: положив в (23,7) р = 0 и заменив на , получим

Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двухкомпонентную величину. Другими словами, при заданном импульсе существует два различных независимых состояния в соответствии с двумя возможными значениями проекции спина. При этом, однако, проекция спина на произвольную ось 2 не может иметь определенного значения. Это видно из того, что гамильтониан частицы с определенным (т. е. матрица ) не коммутативен с матрицей . В соответствии со сделанными в § 16 общими утверждениями сохраняется, однако, спиральность — проекция спина на направление р: гамильтониан коммутативен с матрицей

Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых трехмерный спинор -собственная функция оператора по:

(23,13)

Явный вид этих спиноров:

(23,14)

где и — полярный угол и азимут направления относительно фиксированных осей xyz.

Другой возможный выбор двух независимых состояний свободной частицы с заданным (более простой, хотя и менее наглядный) отвечает двум значениям z-проекции спина в системе покоя; обозначим ее а. Соответствующие спиноры:

(23,15)

В качестве же двух линейно независимых решений с «отрицательной частотой» мы выберем плоские волны, в которых трехмерные спиноры

(23,16)

(смысл такого выбора выяснится в § 26).

Можно найти такое представление плоской волны, в котором в любой системе отсчета (а не только в системе покоя) она имеет всего две компоненты, отвечающие определенным значениям той же физической характеристики — проекции спина в системе покоя (L. Foldy, S. A. Wouthuysen, 1950).

Отправляясь от амплитуды в стандартном представлении (23,9), ищем унитарное преобразование к такому представлению в виде

где вещественная величина; поскольку При этом автоматически Разлагая в ряд и учитывая, что представим U в виде

(ср. переход от (18,13) к (18,14)). Из условия, чтобы в преобразованной амплитуде вторые две компоненты обратились в нуль, найдем

так что

В новом представлении

(23,17)

Гамильтониан частицы в этом представлении принимает вид

(23,18)

(все матрицы стандартного представления). Этот гамильтониан коммутативен с матрицей

которая в новом представлении является оператором сохраняющейся величины — спина в системе покоя.