§ 12. Истинно нейтральные частицы

При проведении вторичного квантования -функции (11,1) коэффициенты рассматривались как операторы, относящиеся к различным частицам. Это, однако, не обязательно: как частный случай входящие в операторы уничтожения и рождения могут относиться к одним и тем же частицам (как это было для фотонов ср. (2,17)). Обозначив в этом случае указанные операторы как 6 и напишем -оператор в виде

Описываемое таким оператором поле соответствует системе одинаковых частиц, о которых можно сказать, что они «совпадают со своими античастицами».

Оператор (12,1) эрмитов в этом смысле такое поле имеет вдвое меньше «степеней свободы», чем комплексное поле, для которого операторы не совпадают.

В связи с этим лагранжиан поля, выраженный через эрмитов оператор должен содержать лишний (по сравнению с (10,9)) множитель

Соответствующий тензор энергии-импульса

так что оператор плотности энергии

Подставив (12,1) в интеграл получим гамильтониан поля

Отсюда снова видна необходимость квантования по Бозе:

и собственные значения энергии (снова за вычетом аддитивной постоянной)

При квантовании же по Ферми мы получили бы бессмысленный результат — не зависящее от значение Е.

«Заряд» Q рассматриваемого поля равен нулю. Это ясно уже из того, что заряд Q должен менять знак при замене частиц античастицами, а в данном случае те и другие совпадают. В связи с этим не существует и 4-вектора плотности тока. Действительно, выражение

для оператора сохраняющегося 4-вектора при обращается в нуль (вектор же сам по себе не сохраняется). Это в свою очередь означает отсутствие какого-либо особого закона сохранения, который бы ограничивал возможные изменения числа частиц. Очевидно, что такие частицы, во всяком случае, электрически нейтральны.

Частицы такого рода называют истинно нейтральными, в отличие от электрически нейтральных частиц, имеющих античастицу. В то время как последние могут аннигилировать (превращаясь в фотоны) лишь парами, истинно нейтральные частицы могут аннигилировать поодиночке.

Структура -оператора (12.1) - такая же, как структура операторов (2,17-20) электромагнитного поля. В этом смысле можно сказать, что и сами фотоны — истинно нейтральные частицы. В случае электромагнитного поля эрмитовость операторов была связана с вещественностью напряженностей поля как измеримых (в классическом пределе) физических величин. В случае же -операторов частиц такой связи не существует, поскольку им вообще не соответствуют какие-либо непосредственно измеримые величины.

Отсутствие сохраняющегося 4-вектора тока есть общее свойство истинно нейтральных частиц и не связано с равным нулю спином (так, оно имеет место и для фотонов). Физически оно выражает отсутствие соответствующих запретов для изменения числа частиц. С формальной же точки зрения существует прямая связь между отсутствием сохраняющегося тока и вещественностью поля — эрмитовостью оператора .

Лагранжиан комплексного поля

инвариантен по отношению к умножению -оператора на произвольный фазовый множитель, т. е. по отношению к преобразованиям

(12,10)

(их называют калибровочными). В частности, лагранжиан не меняется при бесконечно малом калибровочном преобразовании

(12,11)

При бесконечно малом изменении «обобщенных координат» q лагранжиан испытывает изменение

(суммирование по всем q). Первый член обращается в нуль в силу «уравнений движения» (уравнений Лагранжа). Понимая под «координатами» q операторы и положив

получим

Отсюда видно, что условие неизменности лагранжиана эквивалентно уравнению непрерывности для 4-вектора

Легко убедиться, что для лагранжиана (12,9) эта формула приводит к току (12,8).

Таким образом, в математическом формализме теории существование сохраняющегося тока оказывается связанным с инвариантностью лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям (W. Pauli, 1941). Лагранжиан же истинно нейтрального поля (12,2) этой симметрией не обладает.