§ 57. Фотоэффект. Релятивистский случай

Обратимся к случаю

При этом также , и потому влияние кулонова поля ядра на волновую функцию фотоэлектрона может быть учтено с помощью теории возмущений. Пишем в виде

Фотоэлектрон может быть релятивистским; поэтому невозмущенная функция в (57,2) написана в виде релятивистской плоской волны (23,1).

Хотя в начальном состоянии электрон нерелятивистский, в его волновой функции тем не менее должна быть (по выясняю щимся ниже причинам) учтена релятивистская поправка Такая функция дается формулой (см. задачу к § 39)

где — нерелятивистская функция связанного состояния (56,6), а — биспинорная амплитуда покоящегося электрона, нормированная принятым нами условием

Подставим функции (57,2-3) в матричный элемент (56,2):

Имея в виду получить первый член разложения этой величины по мы можем во втором члене в фигурных скобках заменить просто постоянной . Первый же член в результате такой замены обратился бы (при ) в нуль (именно поэтому в необходимо учитывать также и первую релятивистскую поправку, пропорциональную при эта поправка дает вклад в сечение того же порядка, что и следующий член разложения по ).

В первом члене в (57,4) производим интегрирование по частям, переводя действие оператора V с на экспоненциальный множитель. В результате получим

где векторный индекс означает пространственную компоненту Фурье. С точностью до члена

Для вычисления же компоненты Фурье пишем уравнение, которому удовлетворяет функция

(оно получается подстановкой (57,2) в (32,1)). Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор , получим

Умножим это уравнение на и проинтегрируем по причем в членах с и производим обычным образом интегрирование по частям:

В последней строке учтено, что амплитуда и удовлетворяет уравнению

Отсюда находим

Подставив (57,6-7) в матричный элемент (57,5), представим его в виде

где

Сечение

где (см. § 65). Это выражение надо еще просуммировать по конечным и усреднить по начальным направлениям спина электрона. Эти действия производятся по описанным ниже, в § 65, правилам с помощью поляризационных матриц плотности начального и конечного состояний:

(в начальном состоянии ).

Они приводят к выражению

Вычисление следа (с использованием формул (22,22)) представляет собой чисто алгебраическую операцию и приводит к следующему результату:

(вектор предполагается вещественным — линейная поляризация фотона).

Придадим формуле сечения фотоэффекта окончательный вид, введя полярный угол 0 и азимут направления относительно направления к в качестве оси и плоскости в качестве плоскости xz (так что При сохранение энергии можно записать в виде (вместо ). Легко проверить, что тогда

где — скорость фотоэлектрона. После простых преобразований получим окончательно

где

В ультрарелятивистском случае () сечение фотоэффекта имеет резкий максимум при малых углах ), т. е. электроны испускаются преимущественно в направлении падения фотона. Вблизи максимума пишем

и главные члены в (57,8) дают

Элементарное, хотя и довольно длинное интегрирование выражения (57,8) по углам приводит, к следующей формуле для полного сечения (F. Sauter, 1931):

(57.10)

где для краткости введен «лоренцев множитель»

В ультрарелятивистском случае эта формула сводится к простому выражению

(57,12)

В случае же переход в (57,10) к пределу малых 7—1 приводит к известному уже нам результату (56,14).