Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 57. Фотоэффект. Релятивистский случай
Обратимся к случаю
При этом также
, и потому влияние кулонова поля ядра на волновую функцию фотоэлектрона
может быть учтено с помощью теории возмущений. Пишем
в виде
Фотоэлектрон может быть релятивистским; поэтому невозмущенная функция в (57,2) написана в виде релятивистской плоской волны (23,1).
Хотя в начальном состоянии электрон нерелятивистский, в его волновой функции
тем не менее должна быть (по выясняю щимся ниже причинам) учтена релятивистская поправка
Такая функция дается формулой (см. задачу к § 39)
где
— нерелятивистская функция связанного состояния (56,6), а
— биспинорная амплитуда покоящегося электрона, нормированная принятым нами условием
Для вычисления же компоненты Фурье
пишем уравнение, которому удовлетворяет функция
(оно получается подстановкой (57,2) в (32,1)). Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор
, получим
Умножим это уравнение на
и проинтегрируем по
причем в членах с
и
производим обычным образом интегрирование по частям:
В последней строке учтено, что амплитуда и удовлетворяет уравнению
Отсюда находим
Подставив (57,6-7) в матричный элемент (57,5), представим его в виде
где
Сечение
где
(см. § 65). Это выражение надо еще просуммировать по конечным и усреднить по начальным направлениям спина электрона. Эти действия производятся по описанным ниже, в § 65, правилам с помощью поляризационных матриц плотности начального и конечного состояний:
(в начальном состоянии
).
Они приводят к выражению
Вычисление следа (с использованием формул (22,22)) представляет собой чисто алгебраическую операцию и приводит к следующему результату:
(вектор
предполагается вещественным — линейная поляризация фотона).
Придадим формуле сечения фотоэффекта окончательный вид, введя полярный угол 0 и азимут
направления
относительно направления к в качестве оси
и плоскости
в качестве плоскости xz (так что
При
сохранение энергии можно записать в виде
(вместо
). Легко проверить, что тогда
где
— скорость фотоэлектрона. После простых преобразований получим окончательно
где
В ультрарелятивистском случае (
) сечение фотоэффекта имеет резкий максимум при малых углах
), т. е. электроны испускаются преимущественно в направлении падения фотона. Вблизи максимума пишем
и главные члены в (57,8) дают
Элементарное, хотя и довольно длинное интегрирование выражения (57,8) по углам приводит, к следующей формуле для полного сечения (F. Sauter, 1931):
(57.10)
где для краткости введен «лоренцев множитель»
В ультрарелятивистском случае эта формула сводится к простому выражению
(57,12)
В случае же
переход в (57,10) к пределу малых 7—1 приводит к известному уже нам результату (56,14).