ГЛАВА III. ФЕРМИОНЫ

§ 17. Четырехмерные спиноры

В нерелятивистскдй теории частица с произвольным спином s описывается (2s + 1)-компонентной величиной — симметричным спинором ранга 2s. С математической точки зрения это — величины, реализующие неприводимые представления группы пространственных вращений.

В релятивистской теории эта группа выступает лишь как подгруппа более широкой группы четырехмерных вращений — группы Лоренца. В связи с этим возникает необходимость в построении теории четырехмерных спиноров (-спиноров) — величин, осуществляющих неприводимые представления группы Лоренца; её изложению посвящены § 17—19. При этом в § 17, 18 рассматривается лишь собственная группа Лоренца, не содержащая пространственной инверсии; последняя будет рассмотрена в § 19.

Теория 4-спиноров строится аналогично теории трехмерных спиноров (В. L. van der Waerden, 1929; G. E. Uhlenbeck, O. Laporte, 1931).

Спинор есть двухкомпонентная величина как компоненты волновой функции частицы со спином отвечают собственным значениям -проекции спина, равным соответственно При всяком преобразовании (собственной) группы Лоренца две величины преобразуются друг через друга:

Коэффициенты — определенные функции углов поворота 4-системы координат, подчиненные условию

т. е. определитель бинарного преобразования (17,1) равен 1, как и определители преобразований координат в группе Лоренца.

В силу условий (17,2) билинейная форма — два спинора) инвариантна относительно преобразования (17,1) (она отвечает частице со спином 0, «составленной» из двух частиц со спином

Для естественной записи таких инвариантных выражений наряду с «контравариантными» компонентами спинора вводятся также и «ковариантные» компоненты Переход от одних к другим совершается с помощью «метрического спинора»

где

так что

Тогда инвариант записывается в виде скалярного произведения При этом

До сих пор перечисленные свойства формально совпадали со свойствами трехмерных спиноров. Разница, однако, возникает при рассмотрении комплексно-сопряженных спиноров.

В нерелятивистской теории сумма

определяющая плотность вероятности локализации частиц в пространстве, должна была быть скаляром, а для этого компоненты должны были преобразовываться как ковариантные компоненты спинора; другими словами, преобразование (17,1) должно было быть унитарным В релятивистской же теории плотность частиц не является скаляром; она представляет собой временную компоненту 4-вектора. В связи с этим указанное требование отпадает и на коэффициенты преобразования не накладывается теперь никаких дополнительных (помимо (17,2)) условий. Четыре комплексные величины при одном лишь условии (17,2) эквивалентны вещественным параметрам — в соответствии с числом углов, определяющих вращение 4-системы координат (повороты в шести координатных плоскостях).

Таким образом, комплексно-сопряженные бинарные преобразования оказываются существенно различными, так что в релятивистской теории существует два типа спиноров. Чтобы различить эти типы, приняты специальные обозначения: индексы спиноров, преобразующихся по формулам, комплексно-сопряженным формулам (17,1), записываются в виде цифр с точками над ними (пунктирные индексы). Таким образом, по определению,

где знак означает «преобразуется как».

Другими словами, формулы преобразования «пунктирного» спинора:

Операции опускания и поднимания пунктирных индексов производятся так же, как и для непунктирных индексов:

По отношению к пространственным вращениям поведение 4-спиноров совпадает с поведением 3-спиноров. У последних, как мы знаем, Б силу определения (17,7) 4-спинор ведет себя, следовательно, при вращениях как контравариантный 3-спинор Собственным значениям проекции спина соответствуют поэтому ковариантнце компоненты

Спиноры высших рангов определяются как совокупности величин, преобразующихся как произведения компонент нескольких спиноров первого ранга. При этом среди индексов спинора высшего ранга могут быть как пунктирные, так и непунктирные. Например, существует три тияа спиноров второго ранга:

Тем самым указание одного лишь полного ранга спинора недостаточно для однозначного определения этого понятия; мы будем поэтому при необходимости указывать ранг в виде пары чисел — числа непунктирных и числа пунктирных индексов.

Поскольку преобразования (17,1} и (17,8) алгебраически независимы, нет необходимости фиксировать последовательность пунктирных и непунктирных индексов (в этом смысле, например, спиноры и — одно и то же).

Для того чтобы иметь инвариантный характер, всякое спинорное равенство должно содержать с обеих сторон одинаковое число непунктирных и пунктирных индексов; в противном случае оно заведомо нарушится при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом надо помнить, что комплексное сопряжение подразумевает замену пунктирных индексов непунктирными и наоборот. Поэтому имеет инвариантный характер соотношение между двумя спинорами.

Свертывание спиноров или их произведений может производиться лишь по парам индексов одинакового рода — двум пунктирным или двум непунктирным.

Суммирование же по паре индексов различного рода — не инвариантная операция. Поэтому из спинора

симметричного по всем k непунктирным и по всем I пунктирным индексам, нельзя образовать спинор более низкого ранга (напомним, что упрощение по паре индексов, относительно которых спинор симметричен, дает в результате нуль). Это значит, что из величин (17,10) нельзя составить меньшего числа каких-либо их линейных комбинаций, которые бы преобразовывались друг через друга при всех преобразованиях группы. Другими словами, симметричные 4-спиноры реализуют неприводимые представления собственной группы Лоренца. Каждое неприводимое представление задается парой чисел .

Поскольку каждый спинорный индекс пробегает два значения, имеется существенно различных наборов чисел а; в (17,10) (содержащих к единиц и к, двоек) и наборов чисел Всего, следовательно, симметричный спинор ранга имеет ) независимых компонент; это и есть размерность осуществляемого им неприводимого представления.