§ 3. Фотоны

Обратимся к обсуждению полученных формул квантования поля.

Прежде всего, формула (2,12) для энергии поля обнаруживает следующую трудность.

Наиболее низкому уровню энергии поля соответствует равенство нулю квантовых чисел всех осцилляторов (это состояние называют состоянием вакуума электромагнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля «нулевой энергией» . При суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории.

Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энергии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса поля

Эти формулы позволяют ввести основное для всей квантовой электродинамики понятие о световых квантах, или фотонах. Именно, мы можем рассматривать свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет энергию и импульс . Соотношение между энергией и импульсом фотона — такое, каким оно должно быть в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой покоя, движущихся со скоростью света. Числа заполнения приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами к и поляризациями . Свойство поляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц (специфические особенности фотона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в § 6).

Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе математический формализм находится в полном соответствии с представлением об электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это есть не что иное, как аппарат так называемого вторичного квантования в применении к системе фотонов. В этом методе (см. III, § 64) роль независимых переменных играют числа заполнения состояний, а операторы Действуют на функции этих чисел. При этом основную роль играют операторы «уничтожения» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие или увеличивающие на единицу числа заполнения.

Именно такими операторами и являются оператор уничтожает фотон в состоянии — рождает фотон в этом состоянии.

Правило коммутации (2,16) соответствует случаю частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Таким образом, фотоны являются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допустимое число фотонов в любом состоянии может быть произвольным (мы вернемся еще в § 5 к роли этого обстоятельства).

Плоские волны (2,26), фигурирующие в операторе А (2,17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтожения фотонов, можно трактовать как волновые функции фотонов, обладающих определенными импульсами к и поляризациями Такая трактовка соответствует разложению -оператора в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования (в отличие от последнего, однако, в разложение (2,17) входят как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц; смысл этого различия выяснится в дальнейшем, см. § 12).

Волновая функция (2,26) нормирована условием

Это есть нормировка на один фотон в объеме V = 1. Действительно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состоянии с данной волновой функцией. В правой же стороне равенства (3,2) стоит энергия одного фотона.

Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравнения Максвелла. В данном случае (для потенциала , удовлетворяющего условию (2,1)) это — волновое уравнение

«Волновые функции» фотона в общем случае произвольных стационарных состояний представляют собой комплексные решения этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя .

Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз, что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности пространственной локализации фотона в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивистской квантовой механике.

Это связано с тем, что (как было указано в § 1) понятие координат фотона вообще не имеет физического смысла. К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще в конце следующего параграфа.

Компоненты разложения Фурье функции по координатам образуют волновую функцию фотона в импульсном представлении; обозначим ее Так, для состояния с определенным импульсом к и поляризацией волновая функция импульсного представления дается просто коэффициентом при экспоненциальном множителе в (2,26):

В соответствии с измеримостью импульса свободной частицы волновая функция импульсного представления имеет более глубокий физический смысл, чем функция координатного представления: она дает возможность вычислить вероятности различных значений импульса и поляризации фотона, находящегося в заданном состоянии. Согласно общим правилам квантовой механики ты дается квадратом модулей коэффициентов разложения функции по волновым функциям состояний с определенными и

(коэффициент пропорциональности зависит от способа нормировки функций). Подставив сюда (3,3), получим

После суммирования по двум поляризациям найдем вероятность того, что фотон имеет импульс к: