§ 7. Сферические волны фотонов

Определив возможные значения момента фотона, мы должны теперь найти соответствующие им волновые функции.

Рассмотрим сначала формальную задачу: определить такие векторные функции, которые являлись бы собственными функциями операторов при этом мы не предрешаем заранее, какие именно из этих функций входят в интересующие нас волновые функции фотона, и не учитываем условия поперечности.

Будем искать функции в импульсном представлении. Оператор координат в этом представлении (см. III (15,12)). Оператор же орбитального момента

т. е. отличается от оператора момента в координатном представлении лишь заменой буквы на k. Поэтому решение поставленной задачи в обоих представлениях формально одинаково.

Обозначим искомые собственные функции посредством и будем называть их шаровыми векторами. Они должны удовлетворять уравнениям

(ось — заданное направление в пространстве). Покажем, что этим свойством обладает любая функция вида где а — какой-либо вектор, образованный с помощью единичного вектора — обычные (скалярные) шаровые функции. Последние будем везде определять согласно III, § 28:

( — сферические углы, определяющие направление ).

Для этого вспомним правило коммутации III (29,4):

Правую сторону этого равенства можно написать в виде , где s — оператор спина J (воздействие этого оператора на векторную функцию как раз определяется равенством , см. III, § 57, задача 2). Поэтому имеем

Воспользовавшись этим равенством, найдем

Следовательно,

Но шаровая функция есть собственная функция операторов и , соответствующая собственным значениям этих величин так что мы приходим к равенствам (7,1).

Мы получим три существенно различных типа шаровых векторов, выбирая в качестве вектора а один из следующих векторов:

Таким образом, определяем шаровые векторы следующим образом:

Рядом с каждым вектором указана его четность Р. Шаровые векторы трех типов взаимно ортогональны, причем — продолен, — поперечны по отношению к .

Шаровые векторы могут быть выражены через скалярные шаровые функции. При этом выражаются через шаровые функции лишь одного порядка — через шаровые функции порядков . Это обстоятельство очевидно: достаточно сравнить указанные в (7,4) четности шаровых векторов с четностью векторного поля, выраженной через порядок содержащихся в нем шаровых функций.

Шаровые векторы каждого из типов взаимно ортогональны и нормированы согласно

Для векторов это очевидно в силу условия нормировки шаровых функций Для векторов нормировочный интеграл

и, поскольку то мы приходим к (7,5). К такому же интегралу сводится нормировка векторов

Заметим, что к шаровым векторам (7,4) можно было бы прийти и без произведенной выше прямой проверки уравнений (7,1) — уже на основании общих соображений о трансформационных свойствах функций. Такие соображения привели нас в предыдущем параграфе к выводу о том, что векторная функция вида отвечает значению момента, совпадающему с порядком шаровых функций, входящих в если положить просто то функция будет соответствовать также и определенному значению проекции момента. Таким образом, мы сразу приходим к шаровым векторам Но изложенные в § 6 рассуждения о трансформационных свойствах не изменятся, если заменить множитель в произведении вектором или таким образом, мы получим шаровые векторы двух других типов.

Вернемся к волновым функциям фотона. Для фотона электрического типа вектор должен обладать четностью . Такую четность имеют шаровые векторы них, однако, лишь первый удовлетворяет условию поперечности. Для фотона магнитного типа вектор должен иметь четность ; такую четность имеет только шаровой вектор Поэтому волновые функции фотона с определенным моментом и его проекций (и энергией )

причем в качестве надо писать или соответственно в случае фотона электрического или магнитного типа; заданное значение энергии учитывается множителем

Функции (7,6) нормированы условием

Для волновых функций координатного представления условие (7,7) эквивалентно условию

Действительно, интеграл в левой стороне равенства, выраженный через потенциалы, имеет вид

Сюда надо подставить

После этого интегрирование по дает -функцию ), которая устраняется интегрированием и интеграл приводится к виду (7,7).

До сих пор мы подразумевали поперечную калибровку потенциалов, при которой скалярный потенциал . В различных применениях, однако, могут оказаться более удобными другие способы калибровки сферической волны.

Допустимое преобразование потенциалов в импульсном представлении состоит в замене

где — произвольная функция. Выберем ее в данном случае таким образом, чтобы новые потенциалы выражались через те же шаровые функции и чтобы по-прежнему имели определенную четность.

Для фотона электрического типа эти условия ограничивают выбор потенциалов следующими функциями:

где С — произвольная постоянная. Для фотона же магнитного типа такая добавка к лишала бы его определенной четности, и поэтому при тех же условиях выбор (7,6) оказывается однозначным.

Вероятность того, что фотон с определенными моментом и четностью будет зарегистрирован движущимся в направлении , лежащем в элементе телесного угла согласно (3,5) и (7,6) равна

Мы написали выражение для фотона -типа. Но поскольку распределения вероятностей для фотонов обоих типов одинаковы.

Квадрат модуля не зависит от азимутального угла (множители в шаровых функциях сокращаются). Поэтому распределение вероятностей симметрично относительно оси z. Далее, поскольку каждый из шаровых векторов обладает определенной четностью, квадраты их модулей четны по отношению к инверсии, т. е. по отношению к замене полярного угла это значит, что функция да (9), будучи разложена по полиномам Лежандра, содержит полиномы лишь четного порядка. Определение коэффициентов такого разложения сводится к вычислению интегралов от произведений трех шаровых функции и дальнейшему суммированию по компонентам. То и другое производится по формулам, полученным в III, § 107—108, и приводит к следующему результату:

Приведем, наконец, выражения компонент шаровых векторов в виде разложений по шаровым функциям. При этом мы пользуемся «сферическими компонентами» вектора, определенными согласно III, § 107; компоненты вектора

Если свести «циркулярные орты»:

Сферические компоненты шаровых векторов выражаются с помощью -символов через шаровые функции следующими формулами:

Эти формулы выводятся следующим образом. Каждый из трех шаровых векторов имеет вид , где а — один из трех векторов (7,3). Поэтому

и задача сводится к нахождению матричных элементов векторов а относительно собственных функций орбитального момента. Согласно III (107,6) имеем

где — большее из чисел I и . Поэтому достаточно знать отличные от нуля приведенные матричные элементы Для них имеются формулы: