§ 128. Когерентное рассеяние фотона в поле ядра

Другими (наряду с рассеянием фотона на фотоне) нелинейными эффектами, описывающимися квадратными диаграммами вида (127,1), являются распад одного фотона во внешнем поле на два фотона (и обратный процесс «слияния» двух фотонов в один) и рассеяние фотона во внешнем поле. Первому процессу отвечают диаграммы, в которых один из четырех внешних фотонных концов заменен линией внешнего поля. Второму же процессу отвечают диаграммы с двумя внешними линиями реальных и двумя — виртуальных фотонов.

К последней категории относится, в частности, когерентное (упругое) рассеяние фотона в постоянном электрическом поле неподвижного ядра. В общем случае вычисления приводят к очень громоздким формулам (содержащим кратные квадратуры). Мы ограничимся здесь лишь некоторыми оценками.

В силу требований калибровочной инвариантности амплитуда рассеяния при должна содержать произведения компонент 4-импульса начального и конечного фотонов (подобно тому как разложение амплитуды рассеяния фотона на фотоне начинается с четверных произведений компонент 4-импульсов всех фотонов). Другими словами, амплитуда рассеяния фотона малой частоты пропорциональна Учитывая также, что эта амплитуда содержит внешнее поле (поле ядра с зарядом ) во втором порядке, заключаем, что сечение рассеяния

(128,1)

Зависимость от частоты находится, разумеется, в соответствии с общими заключениями § 59.

Коэффициент в (128,1) нельзя вычислить с помощью функции Лагранжа однородного электромагнитного поля (как это можно было сделать для рассеяния света на свете). Причина заключается в том, что в данном процессе существенны расстояния от ядра на которых поле ядра нельзя рассматривать как однородное.

Приведем результат точного расчета:

(128,2)

Индексы «+» и «-» обозначают здесь (как и в § 127) спиральности +1 или —1 конечного или начального фотонов; — угол рассеяния в системе покоя ядра (V. Costantini, В. de Tollis, G. Pistoni, 1971).

Для оценки сечения при высоких частотах воспользуемся оптической теоремой (см. § 71). Промежуточное состояние, фигурирующее в правой стороне соотношения унитарности, является в данном случае состоянием электрон-позитронной пары (ему отвечает рассечение диаграмм по двум внутренним электронным линиям между фотонными концами). Поэтому оптическая теорема связывает амплитуду упругого рассеяния фотона на нулевой угол с полным сечением образования пары фотоном в поле ядра Определив амплитуду рассеяния на угол так, чтобы сечение рассеяния было будем иметь

Сечение отлично от нуля, разумеется, лишь при . В ультрарелятивистском случае, взяв апар из (94,6), получим

(128,3)

Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется по мнимой части дисперсионным соотношением. Это соотношение должно быть написано «с одним вычитанием», т. е. его надо писать для функции (где ), поскольку при амплитуда с соотношением «с двумя вычитаниями» (111,13)). Выделяя вещественную часть дисперсионного интеграла (для чего достаточно понимать интеграл в смысле главного значения) и перейдя от интегрирования по к интегрированию по , имеем

(128,4)

При в интеграле существенны значения , так что для можно использовать выражение (128,3); при этом нижний предел интеграла можно заменить нулем. Главное, значение интеграла можно представить как полусумму интегра лов по путям, проходящим по верхнему и нижнему берегам правой вещественной оси в плоскости комплексной переменной ; в свою очередь, эти пути можно затем повернуть в плоскости со до совпадения соответственно с верхней и нижней мнимыми полуосями.

В результате представится в виде

и окончательно

(128,5)

Обратим внимание на то, что вещественная часть амплитуды, в отличие от мнимой части, не содержит большого логарифма.

Сумма квадратов выражений (128,3) и (128,5) дает сечение рассеяния на нулевой угол:

Полученный для рассеяния строго вперед результат (128,6) пригоден и в некоторой области малых углов. Можно показать, что условие его применимости Эта область, однако, вносит лишь малый вклад в полное сечение рассеяния. Основной же вклад в полное сечение дает область углов это легко понять на основании общего (не на нулевой угол) соотношения унитарности, связывающего друг с другом амплитуды рассеяния фотона и образования пар фотоном. В этой области, однако, логарифмический член отсутствует, так что полное сечение рассеяния

(128,7)

(Н. А. Bethe, F. Rohrlich, 1952). Таким образом, при больших со сечение когерентного рассеяния стремится к постоянному пределу.