§ 75. Электронный пропагатор

Введенное в предыдущих параграфах понятие о функциях распространения (пропагаторах) играет основную роль в аппарате квантовой электродинамики. Фотонный пропагатор v становится основной величиной, характеризующей взаимодействие двух электронов.

Эта его роль наглядно проявляется в положении, занимаемом им в амплитуде рассеяния электронов, куда входит умноженный на токи переходов двух частиц. Аналогичную роль играет электронный пропагатор во взаимодействии электрона и фотона.

Займемся теперь фактическим вычислением пропагаторов, начав с электронного случая.

Подействуем на функцию

— биспинорные индексы) оператором , где Поскольку оператор удовлетворяет уравнению Дирака мы получим нуль во всех точках х, за исключением лишь тех, в которых Дело в том, что стремится к различным пределам при согласно определению (74,8) эти рределы равны соответственно

и, как мы увидим, на световом конусе не совпадают. Это приводит к появлению в производной дополнительного члена с -функцией:

Замечая, что в оператор производная по t входит в виде имеем поэтому

Вычислим стоящий здесь антикоммутатор. Перемножив операторы (см. (73,6)) и учтя перестановочные правила для фермионных операторов найдем

где — волновые функции без временного множителя (как и в § 73, 74, для краткости не выписываем у них поляризационные индексы). Но совокупность всех функций собственных функций гамильтониана электрона — составляет полную систему нормированных функций, и согласно общим свойствам таких систем (ср. III (5,12)):

Сумма же в правой стороне равенства (75,4) отличается от написанной заменой на и равна Таким образом,

Отметим, что из этой формулы следует, в частности, упомянутое уже в § 74 утверждение об антикоммутативности операторов вне светового конуса. При всегда существует такая система отсчета, в которой если при этом , то антикоммутатор (75,6) действительно равен нулю.

Подставив (75,6) в (75,3) (и опустив биспинорные индексы), найдем окончательно

Таким образом, электронный пропагатор удовлетворяет уравнению Дирака с -функдией в правой части. Другими словами, это есть функция Грина для уравнения Дирака.

Нам придется в дальнейшем иметь дело не с самой функцией а с ее компонентами Фурье

(пропагатором в импульсном представлении). Взяв компоненту Фурье от обеих сторон (75,7), найдем, что удовлетворяет системе алгебраических уравнений

Решение этой системы:

(75,10)

Четыре компоненты 4-вектора в являются независимыми переменными (не связанными соотношением ). Написав знаменатель в (75,10) в виде мы увидим, что как функция от при заданном имеет два полюса: при где При интегрировании по в интеграле

(75,11)

возникает поэтому вопрос о способе обхода полюсов; без указания этого способа выражение (75,10) еще по существу неопределенно.

Для выяснения этого вопроса вернемся к исходному определению (75,1). Подставим в него -операторы в виде сумм (73,6), заметив при этом, что отличны от нуля средние по вакууму лишь от следующих произведений операторов рождения и уничтожения:

(Поскольку в состоянии вакуума никаких частиц нет, то, прежде чем «уничтожить» частицу оператором или надо «родить» ее оператором или ) Получим

(75,12)

(при вклад в G дают только электронные, а при — только позитронные члены).

Представив себе суммирование по замененным интегрированием по и сравнив (75,12) с (75,11), мы увидим, что интеграл

(75,13)

должен иметь фазовый множитель при и при Мы удовлетворим этому, если условимся обходить полюсы соответственно сверху и снизу (в плоскости комплексного переменного ):

(75,14)

Действительно, при замыкаем путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости, так что значение интеграла (75,13) будет даваться вычетом в полюсе при замыкаем контур в верхней полуплоскости, и интеграл определится вычетом в полюсе . В обоих случаях получится требуемый результат.

Это правило обхода (правило Фейнмана) можно сформулировать иначе: интегрирование производится везде вдоль самой вещественной оси, но массе частицы приписывается бесконечно малая отрицательная мнимая часть:

(75,15)

Действительно, имеем тогда

Другими словами, полюсы смещаются вниз и вверх от вещественной оси:

так что интегрирование вдоль этой оси становится эквивалентным интегрированию вдоль пути (75,14)). С учетом правила (75,15) пропагатор (75,10) можно написать в виде

Правило интегрирования при сдвиге полюса демонстрируется следующим соотношением:

Его надо понимать в том смысле, что при умножении на какую-либо функцию и интегрировании имеем

(75,19)

где перечеркнутый знак интеграла, или символ Р, означает главное значение.

Функция Грина (75,10) представляет собой произведение биспинорного множителя и скаляра:

(75,20)

Соответствующая координатная функция является, очевидно, решением уравнения

(75,21)

т. е. функцией Грина уравнения .

В этом смысле можно сказать, что есть пропагатор скалярных частиц. Легко убедиться вычислением (подобным произведенному выше), что функция распространения скалярного поля выражается через -операторы (11,2) формулой

(75,22)

аналогичной определению (75,1). При этом хронологическое произведение определяется (как для всяких бозонных операторов) следующим образом:

(75,23)

(с одинаковыми знаками при ).