§ 82. Ионизационные потери быстрых частиц

Рассмотрим столкновения быстрой релятивистской частицы с атомом, сопровождающиеся возбуждением или ионизацией последнего. В нерелятивистском случае такие неупругие столкновения были рассмотрены в III, § 148—150; здесь будет дано релятивистское обобщение полученных там формул (H.A.Bethe, 1933).

Скорость падающей на атом частицы предполагается большой по сравнению со скоростями атомных электронов (тем самым во всяком случае предполагается, что , т. е. атомный номер не слишком велик). Этим условием обеспечивается применимость борновского приближения к рассматриваемому процессу. Решение задачи несколько различно в зависимости от того, является ли быстрая частица легкой (электрон, позитрон) или тяжелой (мезон, протон, -частица и т. п.). Мы рассмотрим здесь последний случай, более простой.

Пусть -начальный и конечный импульсы быстрой частицы в лабораторной системе отсчета, в которой атом до столкновения покоился; разность дает энергию и импульс, передаваемые частицей атому. Разделим весь интервал возможных передач импульса на две области:

где — масса электрона, — некоторая средняя атомная энергия (потенциал ионизации атома). Области перекрываются друг с другом при это обстоятельство позволит произвести точную сшивку результатов, получающихся для каждой из областей. Будем говорить о значениях q в первой и во второй областях соответственно как о малых и больших передачах импульса.

Малые передачи импульса В этой области атомные электроны можно считать нерелятивистскими как в начальном, так и в конечном состояниях атома. Амплитуда процесса дается выражением

где — 4-ток перехода атома из начального состояния (0) в конечное , — 4-ток перехода быстрой частицы; эти токи заменяют здесь собой выражения которые стояли бы, например, в амплитуде рассеяния двух «элементарных» частиц — электрона и мюона (73,17) (ср. также (139,3)). Токи перехода берутся в импульсном представлении (см. (43,11)). Сечение процесса в лабораторной системе отсчета:

(82,3)

где — частота перехода между состояниями атома. Конечное состояние может относиться как к дискретному, так и к непрерывному спектру; первый случай отвечает возбуждению, а второй — иопизации атома. В законе сохранения энергии (учитываемом -функцией в (82,3)) пренебрежено энергией отдачи атома, что заведомо допустимо при малых передачах импульса.

Фотонный пропагатор удобно выбрать в данном случае в калибровке (76,14), в которой отличны от нуля лишь его пространственные компоненты:

Тогда и для 4-токов перехода в (82,2) нужны только их пространственные компоненты.

Атомный ток перехода в данном случае есть компонента Фурье обычного нерелятивистского выражения:

где — атомные волновые функции (причем для упрощения записи мы опускаем здесь и ниже знак суммирования по электронам атома, т. е. пишем формулу так, как если бы в атоме был всего один электрон). Проинтегрировав в первом члене по частям, можно переписать это выражение в виде матричного элемента:

где — оператор скорости электрона.

Что касается тока перехода рассеиваемой частицы, то ввиду относительной малости теряемого ею импульса можно заменить его просто диагональным элементом

отвечающим классическому прямолинейному движению (ср. ниже (99,5)); здесь введен также множитель z, учитывающий возможное отличие заряда частицы от заряда электрона.

Малость q означает также и малость угла отклонения частицы О. При этом продольная и поперечная (по отношению к ) компоненты q равны

так что

Подстановка (82,4-8) в (82,2) дает с учетом того, что :

В первом члене замечаем, что

где (см. III, § 149); поэтому матричный элемент этого оператора совпадает с матричным элементом . Во втором же члене достаточно заменить, ввиду малости единицей. Тогда

Квадрат модуля этого выражения:

(во втором члене здесь положено в первом члене этого нельзя сделать по причине, которая выяснится ниже, см. примеч. на с. 380),

Потери энергии быстрой частицей в результате ее неупругих столкновений с атомами определяются величиной

где суммирование производится по всем возможным конечным состояниям атома, а интегрирование — по направлениям рассеянной частицы; будем называть эту величину эффективным торможением (отношение называют сечением потери энергии).

Интегрирование в (82,10) можно произвести в два этапа: как усреднение по азимуту направления относительно и затем интегрирование по где — малый угол отклонения. Первая операция заменяет на

где -матричный элемент одной из декартовых координат атомных электронов. Интегрирование же по О можно заменить интегрированием по , заметив, что

и потому (М — масса быстрой частицы). В результате получим

(82,12)

Нижний предел интегрирования по

(82,13)

В качестве же верхнего предела выберем некоторое значение такое, что

(82,14)

т. е. лежащее в области перекрытия областей I и II (82,1).

Интегрирование и суммирование в (82,12) осуществляется подобно тому, как это было сделано в III, § 149 для нерелятивистского случая. Весь интервал интегрирования разделим еще на две части: а) от до и б) от до где значение такое, что

(82,15)

(величина та справа — порядка импульсов атомных электронов).

В области а) можно разложить и вклад этой области в и принимает вид

(Интегрирование во втором члене можно распространить до бесконечности.)

Суммирование осуществляется с помощью формулы

(82,16)

где Z — число электронов в атоме (см. III (149,10)). Результат представим в виде

где I — некоторая средняя атомная энергия, определяемая формулой

(82,18)

В области же б) имеем согласно (82,11) не зависит от номера конечного состояния атома; не зависят от также и пределы интегрирования. Поэтому суммирование по в (82,, 12) можно произвести под знаком интеграла. В первом члене оно осуществляется формулой

(82,19)

(см. III (149,5)), и интеграл от него равен,

Интеграл же от второго члена в (82,12) по этой области дает пренебрежимый вклад в

Складывая последнюю формулу с (82,17), находим вклад в к от всей области малых передач импульса;

Большие передачи импульса

Обратимся к столкновениям с передачей импульса, большой по сравнению с импульсом атомных электронов . В этой области можно, очевидно, пренебречь связью электронов в атоме, т. е. считать их свободными. Соответственно этому столкновение быстрой частицы с атомом будет представлять собой ее упругое рассеяние на каждом из Z атомных электронов. При этом ввиду большой скорости частицы атомные электроны можно считать первоначально покоящимися.

Обозначим посредством энергию, передаваемую быстрой частицей атомному электрону, и пусть сечение упругого рассеяния с такой передачей. Дифференциальное эффективное торможение на всем атоме будет тогда

(82,21)

Максимальная энергия, которая может быть передана покоящемуся электрону сталкивающейся с ним частицей массы равна

где — энергия и импульс налетающей частицы (см. II (13,13)). Будем предполагать далее, что энергия хотя и может быть ультрарелятивистской но в то же время

(82,22)

Тогда даже максимальная передаваемая энергия

(82,23)

остается еще малой по сравнению с первоначальной кинетической энергией падающей частицы . Соответственно и передача импульса q остается всегда малой по сравнению с первоначальным импульсом частицы . Это обстоятельство позволяет считать движение последней неменяющимся при столкновении, т. е. рассматривать падающую частицу как бесконечно тяжелую. Тогда сечение рассеяния получится просто преобразованием сечения рассеяния электрона на неподвижном центре (80,7) к лабораторной системе отсчета, в которой электрон первоначально покоился.

Это легко сделать, заметив, что в указанном приближении

а относительная скорость v в обеих системах — одна и та же. Формула (80,7) принимает вид

Передача энергии выражается через тот же инвариант согласно . Поэтому имеем

(82,24)

Вклад в эффективное торможение от рассматриваемой области передачи импульса получится интегрированием (82,21) в пределах от введенной выше границы до Он равен

Наконец, сложив вклады (82,20) и (82,25), получим окончательно следующий результат для полных ионизационных потерь быстрой тяжелой частицы:

(в обычных единицах). В нерелятивистском случае отсюда получается прежняя формула III (150,10):

(82,27)

а в ультрарелятивистском случае

Торможение зависит только от скорости (но не от массы) быстрой частицы. Убывание торможения при увеличении скорости согласно (82,27) сменяется в ультрарелятивистской области медленным (логарифмическим) возрастанием.

Задачи

1. Определить эффективное торможение релятивистского электрона.

Решение. Вклад области малых передач импульса по-прежнему дается выражением (82,20). Для области больших передач вместо (82,24) следует воспользоваться формулой (81,14), учитывающей обменные эффекты. Интегрируя по от до и складывая с (82,20), находим

В нерелятивистском случае получаем формулу из задачи к III, § 149, а в ультрарелятивистском (у 1)

2. То же для позитрона.

Решение. Для в области больших передач следует воспользоваться (81,23), причем верхний предел по Д равен Ответ в ультрарелятивистском случае: