Главная > Теоретическая физика. Т. IV. Квантовая электродинамика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 99. Метод эквивалентных фотонов

Сравним два процесса, описываемых диаграммами:

(кружки изображают условно всю внутреннюю часть диаграммы). Диаграмма а) изображает столкновение фотона с некоторой частицей с 4-импульсом q (и массой ). В результате столкновения образуется система (частица или группа частиц) с общим 4-импульсом Q. Диаграмма б) изображает столкновение той же частицы q с другой частицей, 4-импульс которой , а масса . В результате столкновения эта последняя частица приобретает 4-импульс и образуется та же система Q. Второй процесс можно рассматривать как столкновение частицы q с испущенным частицей виртуальным фотоном, импульс которого

Если при этом мало, то виртуальный фотон мало отличается от реального. Очевидно, что с такой ситуацией можно встретиться при столкновениях очень быстрых частиц: электромагнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью v да 1, почти поперечно и потому близко по своим свойствам к полю световой волны. В этих условиях сечение процесса б) можно выразить через сечение процесса а).

Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее энергия (в системе покоя частицы ) . Если массы сталкивающихся частиц различны, то для определенности будем считать, что .

Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) можно представить в виде

где — -вектор поляризации фотона, а — ток перехода, отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же процесса б)

где — ток перехода частицы (нижняя вершина диаграммы); — заряд этой частицы. Ток — функция от и потому в этих случаях различен: в (99,2) и в (99,3). Но если во втором случае

то и здесь можно взять при

Изменение импульса частицы М при испускании виртуального фотона, мало по сравнению с ее первоначальным импульсом ; поэтому в токе перехода j можно положить Другими словами, рассматриваем движение частицы М как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение квазиклассично, соответствующий ток не зависит от спина частицы:

Условие поперечности тока дает теперь где ось выбрана в направлении . Отсюда

где — скорость частицы М Поскольку

(-поперечная к оси составляющая вектора k), условие (99,4) эквивалентно неравенству значительно более слабому неравенству для

Далее, из условия поперечности тока следует при использовании (99,6)

Поэтому для скалярного произведения получим

Произведение же в (99,2) раскроем, выбрав -вектор поляризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке: откуда Тогда

Сравним выражения (99,8) и (99,9). Они окажутся пропорциональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами в скобках. Поскольку ток J относится к верхнему узлу диаграммы (99,16), он не связан с направлением ; поэтому надо считать величинами одного порядка. Допустимость указанного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий они не противоречат предыдущим условиям, уже наложенным на .

Приняв, что в (99,9) фотон поляризован в плоскости к (так что ), и заметив, что в силу поставленных условий получим теперь

(99,10)

Согласно сказанному выше при этом предполагаются выполненными условия

(99,11)

где для краткости обозначено

Отсюда можно найти связь между соответствующими сечениями. Согласно общей формуле (64,18) имеем (в системе покоя частицы )

где — статистические веса частиц Q. Используя (99,10) и (99,7), получаем

(99,13)

где

(99,14)

Напомним, что — сечение процесса а), вызванного столкновением реального фотона с покоящейся частицей, причем образуется система частиц Q в определенных интервалах их импульсов. Сечение же относится к процессу б) образования той же системы Q при столкновении быстрой частицы (массы М) с той же покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс оставаясь в интервале значений . Множитель в (99,13) можно истолковать как плотность (в -пространстве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное поле быстрой частицы.

Интегрирование по равнозначно интегрированию по Произведя интегрирование по мы получим сечение процесса, в котором полная энергия Е системы частиц Q лежит в заданном интервале где — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирование по направлениям означает усреднение по направлениям поляризации падающего фотона (вместе с умножением на ). После этого получим

(99,15)

где

Интеграл по расходится при больших Расходимость, однако, всего лишь логарифмическая.

Это обстоятельство позволяет (в пределах применимости излагаемого метода) получить ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что велик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой точностью достаточно положить для верхнего предела интегрирования — верхний предел неравенства (99,12). Произведя интегрирование, получим для спектрального распределения эквивалентных фотонов (в обычных единицах)

(99,16)

Принятое приближение означает, что численный коэффициент в аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму относительно малой величны и представляло бы собой превышение допустимой точности.

Задачи

1. Найти сечение тормозного излучения при столкновении быстрого электрона с ядром, исходя из сечения рассеяния фотонов на электроне.

Решение. В системе отсчета в которой электрон до Столкновения покоился, процесс можно рассматривать как рассеяние на электроне эквивалентных фотонов поля ядра. Согласно (86,10) сечение рассеяния фотона электроном в системе

где — начальная и конечная энергии фотона в этой системе. Сечение тормозного излучения в системе

где - функция (99,16). Ввиду инвариантности сечения переход к системе отсчета К, в которой покоится ядро, сводится к преобразованию частоты Частоты со, и в системах и К связаны формулой Доплера

где — угол рассеяния в системе Этот же угол связывает согласно (86,8):

Из (3) и (4) находим

где не — начальная и конечная энергии электрона в системе ). Подставив (5) в (1), получим

Это выражение надо подставить в (2) и интегрировать по при заданном (т. е. заданном ) в пределах между

(эти значения получаются из при ). Ввиду быстрой сходимости интеграла при больших главный вклад в него дает область вблизи нижнего предела (т. е. можно положить ). Вычисляя интеграл с логарифмической точностью ), получаем

Для справедливости этого результата, помимо условия (ультра-релятивистский электрон), должно выполняться условие (99,11): существенные при интегрировании частоты должны быть много меньше . Отсюда . В этих условиях полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с логарифмической точностью (93,17).

2. То же для тормозного излучения электрона на электроне. Решение. В этом случае виртуальный фотон может рассеиваться либо на быстром электроне, либо на электроне отдачи; фотоны, эквивалентные полю одного электрона, рассеиваются на другом, и наоборот. Рассеяние виртуальных фоторов на быстром электроне дает сечение совпадающее с сечением излучения электрона на ядре с

Рассеяние же виртуальных фотонов на электроне отдачи дает сечение излучения

из (1) (с соответствующим изменением обозначений частот). Для области значений, пробегаемых при заданном имеем (ср. (4))

При интегрирование по и дает

в согласии с (97,4). Если же то надо различать случаи В первом случае получаем

в согласии с (97,3) (в аргументе логарифма произведена замена с требуемой точностью на ). В случае же метод эквивалентных фотонов вообще неприменим для вычисления Частота виртуальных фотонов w пробегает значения, начиная от , и при , следовательно, не выполняетсяусловие (99,11).

3. Определить полное сечение образования пары при столкновении фотона с ядром, исходя из сечения образования пары при столкновении двух фотонов.

Решение. Энергия фотона в системе покоя ядра (система К): Перейдем в систему отсчета , в которой ядро движется навстречу фотону со скоростью такой, что

В этой системе энергия фотона

Искомое сечение вычисляем в системе Ко как сечение образования пары при столкновениях падающего фотона с эквивалентными фотонами ядра, энергии которых обозначим со:

где — сечение образования пары двумя фотонами; оно дается полученной в задаче к § 88 формулой (1), в которой надо положить

Перейдя к переменной о вместо получим

При учете сходимости интеграла на верхнее пределе интегрирование распространяется на всю область от порога реакции до и производится с логарифмической точностью (т. е. логарифм заменяется его значением при и выносится из-под знака интеграла).

В результате получим

в согласии с (94,6); формула справедлива при

1
Оглавление
email@scask.ru