§ 99. Метод эквивалентных фотонов

Сравним два процесса, описываемых диаграммами:

(кружки изображают условно всю внутреннюю часть диаграммы). Диаграмма а) изображает столкновение фотона с некоторой частицей с 4-импульсом q (и массой ). В результате столкновения образуется система (частица или группа частиц) с общим 4-импульсом Q. Диаграмма б) изображает столкновение той же частицы q с другой частицей, 4-импульс которой , а масса . В результате столкновения эта последняя частица приобретает 4-импульс и образуется та же система Q. Второй процесс можно рассматривать как столкновение частицы q с испущенным частицей виртуальным фотоном, импульс которого

Если при этом мало, то виртуальный фотон мало отличается от реального. Очевидно, что с такой ситуацией можно встретиться при столкновениях очень быстрых частиц: электромагнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью v да 1, почти поперечно и потому близко по своим свойствам к полю световой волны. В этих условиях сечение процесса б) можно выразить через сечение процесса а).

Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее энергия (в системе покоя частицы ) . Если массы сталкивающихся частиц различны, то для определенности будем считать, что .

Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) можно представить в виде

где — -вектор поляризации фотона, а — ток перехода, отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же процесса б)

где — ток перехода частицы (нижняя вершина диаграммы); — заряд этой частицы. Ток — функция от и потому в этих случаях различен: в (99,2) и в (99,3). Но если во втором случае

то и здесь можно взять при

Изменение импульса частицы М при испускании виртуального фотона, мало по сравнению с ее первоначальным импульсом ; поэтому в токе перехода j можно положить Другими словами, рассматриваем движение частицы М как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение квазиклассично, соответствующий ток не зависит от спина частицы:

Условие поперечности тока дает теперь где ось выбрана в направлении . Отсюда

где — скорость частицы М Поскольку

(-поперечная к оси составляющая вектора k), условие (99,4) эквивалентно неравенству значительно более слабому неравенству для

Далее, из условия поперечности тока следует при использовании (99,6)

Поэтому для скалярного произведения получим

Произведение же в (99,2) раскроем, выбрав -вектор поляризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке: откуда Тогда

Сравним выражения (99,8) и (99,9). Они окажутся пропорциональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами в скобках. Поскольку ток J относится к верхнему узлу диаграммы (99,16), он не связан с направлением ; поэтому надо считать величинами одного порядка. Допустимость указанного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий они не противоречат предыдущим условиям, уже наложенным на .

Приняв, что в (99,9) фотон поляризован в плоскости к (так что ), и заметив, что в силу поставленных условий получим теперь

(99,10)

Согласно сказанному выше при этом предполагаются выполненными условия

(99,11)

где для краткости обозначено

Отсюда можно найти связь между соответствующими сечениями. Согласно общей формуле (64,18) имеем (в системе покоя частицы )

где — статистические веса частиц Q. Используя (99,10) и (99,7), получаем

(99,13)

где

(99,14)

Напомним, что — сечение процесса а), вызванного столкновением реального фотона с покоящейся частицей, причем образуется система частиц Q в определенных интервалах их импульсов. Сечение же относится к процессу б) образования той же системы Q при столкновении быстрой частицы (массы М) с той же покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс оставаясь в интервале значений . Множитель в (99,13) можно истолковать как плотность (в -пространстве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное поле быстрой частицы.

Интегрирование по равнозначно интегрированию по Произведя интегрирование по мы получим сечение процесса, в котором полная энергия Е системы частиц Q лежит в заданном интервале где — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирование по направлениям означает усреднение по направлениям поляризации падающего фотона (вместе с умножением на ). После этого получим

(99,15)

где

Интеграл по расходится при больших Расходимость, однако, всего лишь логарифмическая.

Это обстоятельство позволяет (в пределах применимости излагаемого метода) получить ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что велик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой точностью достаточно положить для верхнего предела интегрирования — верхний предел неравенства (99,12). Произведя интегрирование, получим для спектрального распределения эквивалентных фотонов (в обычных единицах)

(99,16)

Принятое приближение означает, что численный коэффициент в аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму относительно малой величны и представляло бы собой превышение допустимой точности.

Задачи

1. Найти сечение тормозного излучения при столкновении быстрого электрона с ядром, исходя из сечения рассеяния фотонов на электроне.

Решение. В системе отсчета в которой электрон до Столкновения покоился, процесс можно рассматривать как рассеяние на электроне эквивалентных фотонов поля ядра. Согласно (86,10) сечение рассеяния фотона электроном в системе

где — начальная и конечная энергии фотона в этой системе. Сечение тормозного излучения в системе

где - функция (99,16). Ввиду инвариантности сечения переход к системе отсчета К, в которой покоится ядро, сводится к преобразованию частоты Частоты со, и в системах и К связаны формулой Доплера

где — угол рассеяния в системе Этот же угол связывает согласно (86,8):

Из (3) и (4) находим

где не — начальная и конечная энергии электрона в системе ). Подставив (5) в (1), получим

Это выражение надо подставить в (2) и интегрировать по при заданном (т. е. заданном ) в пределах между

(эти значения получаются из при ). Ввиду быстрой сходимости интеграла при больших главный вклад в него дает область вблизи нижнего предела (т. е. можно положить ). Вычисляя интеграл с логарифмической точностью ), получаем

Для справедливости этого результата, помимо условия (ультра-релятивистский электрон), должно выполняться условие (99,11): существенные при интегрировании частоты должны быть много меньше . Отсюда . В этих условиях полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с логарифмической точностью (93,17).

2. То же для тормозного излучения электрона на электроне. Решение. В этом случае виртуальный фотон может рассеиваться либо на быстром электроне, либо на электроне отдачи; фотоны, эквивалентные полю одного электрона, рассеиваются на другом, и наоборот. Рассеяние виртуальных фоторов на быстром электроне дает сечение совпадающее с сечением излучения электрона на ядре с

Рассеяние же виртуальных фотонов на электроне отдачи дает сечение излучения

из (1) (с соответствующим изменением обозначений частот). Для области значений, пробегаемых при заданном имеем (ср. (4))

При интегрирование по и дает

в согласии с (97,4). Если же то надо различать случаи В первом случае получаем

в согласии с (97,3) (в аргументе логарифма произведена замена с требуемой точностью на ). В случае же метод эквивалентных фотонов вообще неприменим для вычисления Частота виртуальных фотонов w пробегает значения, начиная от , и при , следовательно, не выполняетсяусловие (99,11).

3. Определить полное сечение образования пары при столкновении фотона с ядром, исходя из сечения образования пары при столкновении двух фотонов.

Решение. Энергия фотона в системе покоя ядра (система К): Перейдем в систему отсчета , в которой ядро движется навстречу фотону со скоростью такой, что

В этой системе энергия фотона

Искомое сечение вычисляем в системе Ко как сечение образования пары при столкновениях падающего фотона с эквивалентными фотонами ядра, энергии которых обозначим со:

где — сечение образования пары двумя фотонами; оно дается полученной в задаче к § 88 формулой (1), в которой надо положить

Перейдя к переменной о вместо получим

При учете сходимости интеграла на верхнее пределе интегрирование распространяется на всю область от порога реакции до и производится с логарифмической точностью (т. е. логарифм заменяется его значением при и выносится из-под знака интеграла).

В результате получим

в согласии с (94,6); формула справедлива при